Методика проведения текущего контроля

 

Для решения задач недостаточно теоретических знаний по предмету, необходимы специальные знания по методике решения задач. Задачи каждого модуля дисциплины имеют свою специфику (методику решения). Методики решения задач осваиваются студентами на практических занятиях и в ходе самостоятельного решения задач. При выполнении контрольных работ студенты должны продемонстрировать знание теоретического материала и умение применять методики решения к физическим задачам, а также умение подготовиться к контролю знаний.

 

Шкала оценивания контрольных работ студентов по семестрам

 

Оценка «зачтено» выставляется, если студент знает базовые понятия и владеет базовыми операциями разделов дисциплины и корректно применяет ее базовые методы и в ходе выполнения варианта задания правильно выполняет не менее 90 %, не допускает существенных ошибок;

 

Оценка «не зачтено» выставляется, если студент не знает базовые понятия и операции разделов дисциплины и в ходе выполнения варианта задания правильно решает менее 90 %, допускает существенные ошибки.

 

Студент допускается к сдаче зачета и экзамена только при предъявлении преподавателю проверенных и зачтенных работ.

Примерный перечень основных теоретических вопросов:

СЕМЕСТР

1. Матрицы, действия над ними.

2. Определители до n-го порядка. Определение, свойства, вычисление определителей.

3. Обратная матрица. Определение, теорема существования и единственности обратной матрицы.

4. Теорема Крамера, формулы Крамера.

5. Линейные операции над векторами в R³. Базис и координаты вектора в трехмерном пространстве. Теорема о разложении по базису.

6. Скалярное произведение векторов в R³ (определение, свойства, выражение через координаты сомножителей, приложения).

7. Векторное произведения векторов в R³ (определение, свойства, выражение через координаты сомножителей, приложения).

8. Смешанное произведение векторов в R³ (определение, свойства, выражение через координаты сомножителей, приложения).

9. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов, их свойства. Базис, размерность, координаты в n-мером пространстве.

10. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема Кронекера - Капелли. Общая схема решения системы линейных алгебраических уравнений.

11. Свойства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения однородной системы уравнений. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной системами уравнений. Структура общего решения неоднородной системы уравнений.

12. Плоскость как алгебраическая поверхность 1-го порядка. Векторное и общее уравнения плоскости.

13. Прямая на плоскости как алгебраическая линия 1-го порядка. Векторное и общее уравнения.

14. Прямая в пространстве. Векторное уравнение, общие, канонические уравнения прямой.

15. Взаимное расположение плоскостей, прямых, прямой и плоскости.

16. Эллипс (каноническое уравнение, форма кривой, геометрическое определение).

17. Гипербола (каноническое уравнение, форма кривой, геометрическое определение).

18. Парабола (каноническое уравнение, форма кривой, геометрическое определение).

19. Цилиндрические и конические поверхности. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка. Метод параллельных сечений.

20. Система комплексных чисел. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Действия над комплексными числами в тригонометрической (показательной) форме.

21. Многочлены и их корни, теорема Безу и основная теорема алгебры. Многочлены с действительными коэффициентами, разложение на множители.

22. Понятие множества, операции над множествами.

23. Понятие функции, область определения, способы задания, график, сложная функция.

24. Ограниченные множества, ограниченные функции, условия ограниченности.

25. Определение предела функции. Бесконечно большие функции. Бесконечно малые функции, их свойства. Теорема о пределе суммы, произведения и частного двух функций.

26. Предельные переходы в неравенствах. Сравнение бесконечно малых (больших) функций. Эквивалентные бесконечно малые функции (определение, свойства, приложения).

27. Первый замечательный предел.

28. Предел числовой последовательности. Монотонные и ограниченные последовательности. Число е. Второй замечательный предел.

29. Непрерывные функции, их свойства. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва, их классификация.

30. Определение производной. Геометрический и механический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.

31. Понятие дифференцируемости и дифференциала функции, связь с производной. Геометрический, механический смысл дифференциала, использование его в приближенных вычислениях. Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией.

32. Производные степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, гиперболических, обратных тригонометрических функций.

33. Производная суммы, произведения и частного двух функций. Дифференциал суммы, произведения и частного двух функций. Производная и дифференциал сложной функции, свойство инвариантности дифференциала 1-го порядка.

34. Неявно заданные функции, их дифференцирование.

35. Прием логарифмического дифференцирования, производная степенно-показательной функции.

36. Обратная функция, ее дифференцирование.

37. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.

38. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

39. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши.

40. Правило Лопиталя, его применение для раскрытия неопределенностей.

41. Исследование функции с помощью производной (монотонность, экстремумы, выпуклость, точки перегиба, асимптоты).

42. Понятие функции многих переменных, область определения, график (n = 2).

43. Предел и непрерывность функции многих переменных.

44. Понятие частной производной, ее геометрический смысл для функции 2–х переменных. Понятие дифференцируемости функции двух переменных. Необходимое условие дифференцируемости, достаточное условие дифференцируемости.

45. Понятие полного дифференциала функции многих переменных, его связь с понятиями дифференцируемости и частных производных.

46. Уравнение касательной плоскости к поверхности z = f (x,y), геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Использование полного дифференциала в приближенных вычислениях.

47. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

48. Частные производные сложной функции многих переменных (различные случаи), полная производная.

49. Полный дифференциал 1–го порядка сложной функции, свойство инвариантности. Дифференциал сложной функции порядка выше 1–го, нарушение свойства инвариантности.

50. Производные неявно заданной функции 1–ой переменной и 2–х переменных.

51. Экстремумы функции многих переменных, необходимое условие существования экстремума. Достаточное условие существования экстремума функции двух переменных.

52. Задача о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции z = f (x,y) в замкнутой ограниченной области.

 

СЕМЕСТР

1. Первообразная функция, ее свойства. Определение неопределенного интеграла, его простейшие свойства.

2. Интегралы некоторых элементарных функций (таблица интегралов).

3. Метод подстановки или замена переменной в неопределенном интеграле.

4. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

5. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Интегралы от простейших (элементарных дробей). Алгоритм интегрирования рациональных дробей.

6. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка и другие подстановки.

7. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.

8. Определение определенного интеграла, его простейшие свойства. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.

9. Замена переменной в определенном интеграле.

10. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

11. Вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла (различные случаи).

12. Вычисление объема тела вращения с помощью определенного интеграла.

13. Вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла (различные случаи).

14. Физические приложения определенного интеграла.

15. Несобственные интегралы на неограниченном промежутке.

16. Несобственные интегралы от неограниченной функции. Теоремы сравнения для несобственных интегралов. Понятие абсолютной сходимости.

17. Определение и свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат путем сведения к повторному.

18. Двойной интеграл в полярной системе координат.

19. Приложения двойного интеграла.

20. Определение и свойства тройного интеграла.

21. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат путем сведения к повторному.

22. Тройной интеграл в цилиндрической системе координат. Тройной интеграл в сферической системе координат.

23. Приложения тройного интеграла.

24. Криволинейный интеграл 1-го рода. Определение и свойства.

25. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.

26. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода.

27. Криволинейный интеграл 2-го рода. Определение и свойства. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования.

28. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода. Формула Грина. Интегрирование полного дифференциала.

29. Приложения криволинейного интеграла 2-го рода.

30. Поверхностный интеграл 1-го рода. Определение и свойства. Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода.

31. Приложения поверхностного интеграла 1-го рода.

32. Поверхностный интеграл 2-го рода. Определение и свойства. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода.

33. Приложения поверхностного интеграла 2-го рода.

34. Понятие дифференциального уравнения (ДУ), порядка, решения, интегральной кривой, начальных условий для ДУ.

35. ДУ 1-го порядка. Понятие общего и частного решения, теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особые решения.

36. Геометрическая интерпретация уравнения, метод изоклин.

37. Уравнения с разделяющимися переменными.

38. Однородное уравнение 1-го порядка. Метод решения.

39. Линейное уравнение 1-го порядка и уравнение Бернулли. Методы их решения.

40. Уравнение в полных дифференциалах. Метод решения.

41. ДУ высших порядков. Общее и частное решение, понятие о краевой задаче. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

42. ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка (три случая).

43. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков (ЛДУ). Линейный дифференциальный оператор, его свойства, запись с его помощью ЛДУ.

44. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ), свойства решений.

45. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.

46. Формула Остроградского-Лиувилля.

47. Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений ЛОДУ.

48. Фундаментальная система решений ЛОДУ, теорема существования. Структура общего решения ЛОДУ.

49. Нахождение общего решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами с помощью характеристического уравнения (различные случаи характеристических корней).

50. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ).

51. Метод вариации произвольных постоянных решения ЛНДУ.

52. Нахождение частного решения ЛНДУ по виду правой части специального вида.

53. Приближенное решение задачи Коши ДУ. Метод Эйлера. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.

54. Понятие о системе дифференциальных уравнений, решение методом исключения. Матричная запись системы ДУ, матричный метод решения (случай простых действительных характеристических корней).

 

СЕМЕСТР

1. Понятие числового ряда, сходимости и суммы.

2. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимый признак. Гармонический ряд.

3. Свойства сходящихся рядов.

4. Признаки сравнения рядов с положительными членами.

5. Признак Даламбера.

6. Радикальный признак Коши.

7. Интегральный признак Коши.

8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

9. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

10. Функциональные ряды. Область сходимости, сумма ряда.

11. Равномерная сходимость. Мажорируемые ряды. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

12. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус, интервал сходимости степенного ряда. Способы нахождения радиуса сходимости.

13. Ряд Тейлора. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.

14. Ряд Маклорена для некоторых элементарных функций.

15. Приложения степенных рядов.

16. Степенные ряды с комплексными членами. Круг сходимости.

17. Скалярное произведение в пространстве. Ортогональная система функций. Доказательство ортогональности тригонометрической системы функций.

18. Тригонометрический ряд Фурье. Вывод формул для коэффициентов Фурье. Теорема Дирихле.

19. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье на отрезке.

20. Понятие скалярного поля, его характеристики.

21. Понятие векторного поля. Векторные линии и векторные трубки.

22. Дивергенция векторного поля, ее свойства. Формула Остроградского-Гаусса.

23. Ротор векторного поля, его свойства. Формула Стокса.

24. Соленоидальное векторное поле, его свойства.

25. Потенциальное векторное поле, его свойства.

26. Гармоническое векторное поле, его свойства.

27. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Гамильтона.

28. Понятие функции комплексного переменного, предела и непрерывности.

29. Элементарные функции комплексного переменного.

30. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия дифференцируемости. Условия Коши-Римана.

31. Свойства аналитических функций, сопряженные гармонические функции.

32. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции.

33. Понятие конформного отображения.

34. Интегрирование функции комплексного переменного.

35. Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной областей.

36. Интегральная формула Коши для односвязной области. Интегральная теорема Коши для многосвязной области, следствия из нее.

37. Интеграл типа Коши.

38. Ряд Тейлора для функции комплексного переменного. Ряд Лорана функции комплексного переменного.

39. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции, их классификация.

40. Вычет функции в конечной изолированной точке. Способы вычисления для различных типов особых точек. Классификация особенностей и вычет в бесконечно удаленной точке.

41. Основная теорема о вычетах, следствие из нее. Приложения вычетов.

42. Определение оригинала, изображения и преобразования Лапласа. Простейшие свойства преобразования Лапласа. Теоремы дифференцирования и интегрирования оригинала и изображения.

43. Теоремы запаздывания и смещения. Свертка функций, теорема свертывания.

44. Теорема обращения преобразования Лапласа. Нахождение оригинала по изображению.

45. Приложения преобразования Лапласа.

 

СЕМЕСТР

1. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.
2. Определение (аксиомы) вероятности и вероятностного пространства.
3. Дискретное вероятностное пространство (конечная и счетная вероятностные схемы). Классическое определение вероятности.
4. Непрерывное вероятностное пространство. Геометрическое определение вероятности. Задача о встрече.
5. Следствия из аксиом вероятности, теоремы сложения. Условные вероятности. Независимость событий. Теоремы умножения.
6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
7. Общее определение последовательности испытаний.
8. Последовательность независимых испытаний. Полиномиальная схема.
9. Последовательность испытаний Бернулли. Формула Бернулли.
10. Предельные теоремы в схеме Бернулли (теорема Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа), их использование.
11. Случайная величина. Функция распределения, ее свойства.
12. Дискретная случайная величина. Понятие закона распределения. Ряд и многоугольник распределения. Примеры дискретных случайных величин (биномиальное, гипергеометрическое, пуассоновское и геометрическое распределения).
13. Непрерывная случайная величина. Функция плотности распределения случайной величины, ее свойства. Примеры непрерывных случайных величин (равномерное, показательное, нормальное распределения).
14. Совместное распределение нескольких случайных величин. Совместная функция распределения.
15. Закон распределения дискретного случайного вектора.
16. Непрерывный случайный вектор. Совместная функция плотности распределения.
17. Независимые случайные величины. Функции от случайных величин.
18. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания.
19. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Свойства математического ожидания.
20. Дисперсия, ее свойства.
21. Условное распределение, условное математическое ожидание.
22. Начальные и центральные моменты высших порядков.
23. Числовые характеристики случайного вектора. Ковариация, коэффициент корреляции.
24. Элементы математической статистики. Первичная обработка выборки. Гистограмма, вариационный ряд, полигон частот.
25. Оценки параметров распределения: выборочное среднее, выборочная дисперсия.
26. Метод максимального правдоподобия.
27. Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона.