Уравнение неразрывности

        

    Рассмотрим баланс массы жидкости в произвольном элементе объема пористой среды V, ограниченном поверхностью S. За бесконечно малое время dt приток жидкости внутрь элемента равен согласно определению скорости фильтрации

 

(24)

 

( единичный вектор нормали; за положительное направление нормали принято направление внешней нормали к поверхности; u_n - нормальная к поверхности составляющая скорости фильтрации). Приращение массы жидкости внутри этого элемента равняется

(25)

 

    Приравнивая выражения (24) и (25) и используя формулу преобразования поверхностного интеграла в объёмный

 

 

находим

 

откуда в силу произвольности элемента V и вытекает уравнение неразрывности

(26)

 

2.2. Упругий режим фильтрации

    1. Самым простым и наиболее изученным случаем нестационарной фильтрации является фильтрации слабосжимаемой жидкости в упругодеформируемом пласте (в технических приложениях эти задачи получили название задач упругого режима фильтрации). В основу исследования кладется система уравнений закона фильтрации и уравнения неразрывности:

(27)

 

    Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений, нужно воспользоваться тем, что свойства жидкости (плотность r и вязкость m), так же как и пористость и проницаемость пористой среды, являются функциями давления (мы предполагаем движение изотермическим).

    В силу (23) имеем

 

 

    исходя из предположения о слабой сжимаемости жидкости и пористой среды, можно считать относительные изменения величин r и m малыми и коэффициенты при dp/dt в предыдущих формулах постоянными:

(28)

 

    Опытные данные показывают, что в реальных случаях

 

              (p-p₀)/К_m <<1; (p-p₀)/К_r<<1 и т. д.

 

    Подставляя второе уравнение (27) в первое и преобразуя получающее соотношение с учетом (28), находим, пренебрегая малыми величинами,

 

    Если dp - характерное изменение давления, а L - характерная длина, то первый член в скобках имеет, очевидно, порядок dp/L², а второй (dp)²/L²К. Отсюда следует, что вторым членом в принятом приближении также следует пренебречь. Таким образом, имеем

(29)

 

где коэффициент

(30)

 

носит название коэффициента пьезопроводности. Уравнение (29) обычно называется уравнением упругого режима или, по предложению В.Н.Щелкачева, уравнением пьезопроводности. Оно совпадает с хорошо известным классическим уравнением теплопроводности.

    2. Рассмотрим постановку основных задач теории упругого режима. Определим распределение давления р в некоторой замкнутой области пространства D на протяжении промежутка времени 0 £ t£ T. Из теории уравнения теплопроводности известно, что если задать на границе Г области D линейную комбинацию давления и его производной по нормали к границе области

(31)

и задать начальное распределение давления в области D

 

p(x,y,z,0)=φ(x,y,z)                                    (32)

то существует распределение давления p(x, y, z, t), и при том единственное, удовлетворяющее уравнению (29), непрерывное в замкнутой области D, включая границу, и удовлетворяющее условия (31) и (32).

    Сформулированная задача охватывает почти все основные задачи теории упругого режима фильтрации.

    Рассмотрим подробнее физический смысл тех или иных дополнительных условий.

    Область, в которой ищется распределение давления жидкости, обычно представляет собой пористый пласт, частично имеющий непроницаемые границы, а частично сообщающиеся с другими пластами и вскрывающими его скважинами. На непроницаемых границах должно удовлетворятся очевидное условие отсутствия потока - равенство нормальной компоненты скорости фильтрации нулю:

                                                   u_n=0,

откуда, используя закон Дарси, получаем                        (33)

 

    На участках границы с областями, в которых перераспределения давления практически не происходит (“области питания”), давление можно считать постоянным и известным, так что

 

р|_Г = f(x, y , z).                                 (34)

        

    Такое условие справедливо, если, например, рассматриваемый пласт граничит с высокопроницаемой областью,

запас жидкости в которой весьма велик. Давление на границе такой области близко к среднему давлению в ней и ввиду ее большого объема мало зависит от процессов, происходящих в исследуемой области. Характерным примером является нефтяная залежь, окруженная со все сторон обширной водоносной областью.

    При рассмотрении нестационарных процессов в залежи давление в водоносной области можно считать постоянным. Следует, однако, отчетливо представлять себе, что понятие области постоянного давления не является абсолютным. Чем более длительный характер носят изменения давления, тем на большую область они распространяются.

    Часть границы области фильтрации обычно образована стенками скважины или дренажных галерей. На этой части границы чаще всего задается либо давление жидкости, либо поток ее через стенки скважины. Выбор того или иного условия зависит от режима работы скважины или галереи. Могут быть и более сложные условия, когда задается связь с расходом жидкости. Задание потока жидкости согласно закону Дарси эквивалентно заданию нормальной производной от давления.

    Условия этого типа выполняются на тех участках границы, через которые может происходить обмен жидкости с соседними пластами через сравнительно слабопроницаемые перемычки. Если толщина перемычки D мала, а давление р¢ за ней можно считать постоянным, то расход вытекающей жидкости через участок перемычки площадью ds составит              . Это количество жидкости должно быть равно

 

 

где u_n - нормальная проекция скорости фильтрации на рассматриваемом участке границы. Отсюда имеем

(35)

 

т.е. условия третьего рода.

    Все три типа условий являются частными случаями общего условия (31). Таким образом, задавая начальное распределение давления указанные условия на границе, получаем однозначно разрешимую задачу.