При нулевом начальном уровне жидкости

    3.3.1. Общая характеристика инвариантных задач теории нестационарной фильтрации. В разделе 2 было показано, что основные задачи гидродинамической теории нестационарной фильтрации приводят к краевым, смешанным или начальным задачам для нелинейных, как правило, дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Нелинейность вообще характерна для многих актуальных задач современной гидродинамики: газодинамики, теории волн, теории движений вязкой жидкости и т. д. В настоящее время существует сколько-нибудь общих эффективных аналитических методов решения достаточно широких классов нелинейных задач математической физики; это в полной мере относится и к теории фильтрации. Поэтому в теории фильтрации уже давно привлекли внимание своеобразные частные решения, которые выражаются через функции одной переменной. Вначале эти решения обратили на себя внимание только потому, что их получение сводилось к решению обыкновенных уравнений и представлялось (особенно в домашинную эру) более простым, чем решение уравнений в частных производных в общем случае. При построении различных приближенных методов решения, более общих, эти решения часто использовались как эталоны, позволяющие оценить точность метода. (Приближенные методы аналитического решения сохраняют, особенно в теории фильтрации, свое значение и сейчас, при широком внедрении машин, поскольку эти методы дают аналитические формулы, позволяющие наглядно проследить влияние различных параметров, а высокая точность в теории фильтрации не представляет особого интереса. В ряде случаев задачи, описываемые такими решениями, представляют и самостоятельный интерес.

    Однако главная ценность таких решений была осознана позднее. Оказалось, что они представляют собой асимптотические представления решений весьма широких классов задач именно там, где детальная структура граничных и начальных условий перестает быть существенной, а эти области часто бывают наиболее интересными (например, спустя некоторое время после начала отбора из скважины, пока воронка депрессии не достигла области влияния соседней скважины и т. д.). Поэтому, зная такие решения, мы фактически получаем возможность судить, по крайней мере качественно, о поведении очень широкого класса фильтрационных движений.

    Важным свойством рассматриваемых ниже решений является их инвариантность: для одних из этих решений - “автомодельных” - распределение давлений, напоров, плотностей и т. п. оказывается все время подобным самому себе, для других - перемещается как твердое тело с постоянной скоростью и т. д. Это свойство связано с особым характером задач, приводящих к таким решениям. Выполнение определенных преобразований зависимых и независимых переменных оставляет уравнения, граничные и начальные условия задачи неизменными. Как говорят в математике, эти задачи инвариантны относительно некоторой группы непрерывных преобразований. Такие задачи называются инвариантными, они рассматриваются ниже.

    3.1.2. Автомодельные пологие безнапорные движения при нулевом начальном уровне жидкости. Ниже будут рассмотрены точные решения некоторых линейных задач нестационарной фильтрации, характеризующихся нулевым начальным условием. Исследование этого класса движений представляет, помимо непосредственного, также принципиальный интерес, поскольку в подобных задачах наиболее сильно проявляется существенно нелинейный характер рассматриваемой проблемы и обнаруживаются некоторые свойства нелинейных движений, резко отличающие их от соответствующих линейных задач и неизбежно утрачиваемые при линеаризации.

    Будем рассматривать безнапорные пологие фильтрационные движения в первоначально сухом грунте, имея в виду, что в силу обнаруженной Л. С. Лейбензоном аналогии все результаты непосредственно переносятся на задачи изотермической фильтрации газа. Излагаемые ниже в этом параграфе решения были получены Г. И. Баренблаттом.

    Рассмотрим полубесконечный пласт, имеющий снизу плоскую горизонтальную непроницаемую границу - водоупор, а со стороны канала - плоскую вертикальную границу, перпендикулярную оси x и проходящую через точку x =0.

    Пусть начальный напор жидкости в пласте равен нулю, а напор на вертикальной границе пласта изменяется по степенному закону, начиная с исходного момента t =t₀:

h(0, t) = s (t-t₀)^a,                     (61)

где s > 0, а a - некоторая константа, которую будем выбирать в пределах –Ѕ<α<8. В частности, константа a может равняться нулю; в этом случае напор на границе мгновенно принимает некоторое значение s и остается постоянным.

    В случае фильтрации газа сформулированная задача отвечает закачке газа в первоначально не заполненный однородный пласт постоянной мощности при изменении давления газа в начальном сечении пласта х = 0 по закону (61). Линиями равных напоров будут линии х = const, параллельные границе пласта. Таким образом, напор h(x, t) удовлетворяет уравнению

(62)

получающемуся из общего уравнения Буссинеска (47) для данных геометрических условий задачи, а также граничному условию (61), начальному условию и условию на бесконечности:

h(x, t₀) = h(¥, t) = 0.                       (63)

    Напор в некоторой точке пласта h зависит от следующих аргументов: координаты х, времени, прошедшего от начало процесса t - t₀ (в силу однородности уравнения (62) по времени напор будет зависеть только от разности t - t₀, а не от значений t и t₀ в отдельности), коэффициентов a и s и константы a. Вводя для удобства независимую размерность напора (это возможно, так как для рассматриваемой задачи несущественно, что размерности длины и напора одинаковы), получим размерности этих аргументов в следующем виде:

[a] = [h]^-1 L² T^-1; [t - t₀] = T; [x] = L; [s] = [h] T^-a,  (64)

где через [h], L и Т обозначены соответственно размерности напора, длины и времени; константа a безразмерна. Из аргументов, от которых зависит напор жидкости, можно составить только две независимые безразмерные комбинации:

(65)

    В силу p- теоремы анализа размерностей выражение для напора можно представить в виде произведения комбинации определяющих параметров, имеющей размерность напора (в качестве нее можно взять s (t - t₀)^a ), на безразмерную функцию от безразмерных комбинаций (65). Имеем таким образом

h = s(t - t₀)^a f(x, l); l = a/(1+a),         (66)

где f - безразмерная функция, а параметр l введен вместо параметра a для удобства последующего изложения. Очевидно, что l лежит в интервале -1 <l<1. Имеем, далее, в силу (66)

    Подставляя эти соотношения в уравнение (62) и упрощая, получаем для функции f обыкновенное дифференциальное уравнение:

(67)

    После подстановки выражения (66) в граничное условие (61) и условие (63) получаем для функции f (x, l) краевые условия:

f(0, l) = 1;                                   (68)

f(¥, l) = 0.                                  (69)

    Напор и объемный поток (расход) грунтовых вод должны быть непрерывными функциями x и t. Используя закон Дарси, имеем для расхода, приходящего на единицу ширины пласта, выражение

(70)

    Таким образом, из требования непрерывности расхода следует непрерывность функции df²/dx.

    При непрерывной функции f(x) и f ¹ 0 требование непрерывности функции df²/dx = 2fdf/dx совпадает с требованием непрерывности производной df/dx. Однако при f = 0 из непрерывности df²/dx непрерывность df/dx не вытекает. Напротив, как увидим далее, искомая функция f(x, l) имеет в точке, где f обращается в нуль, разрыв первой производной.

    Условие (69) удобнее привести к другому виду. Умножим обе части основного уравнения (62) на х и проинтегрируем по х от нуля до бесконечности. В результате получим

	t5555555555

    Очевидно, что dh²/dx стремится к нулю при х®¥, быстрее, чем х^-1, в противном случае h не стремилось бы к нулю при х®¥. Используя это обстоятельство и условие на бесконечности (63), получаем

    Интегрируя это соотношение в пределах от t = t₀ до t и используя граничное условие (61) и представление решения (66), имеем

(напомним, что считаем a удовлетворяющим неравенству -1/2<a< ¥), откуда получаем искомое условие в форме

(71)

    В интересующей нас области изменения a и l правая часть (71) конечна и положительна.