Основные уравнения фильтрации газа

    При исследовании фильтрации газа основное значение имеет тот факт, что сжимаемость газа обычно на несколько порядков превышает сжимаемость пористой среды. С учетом этого обстоятельства в уравнении неразрывности

(48)

изменением пористости m во времени можно пренебречь, так что получим

(49)

    Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений, снова нужно использовать связь плотности газа r с его давлением р и температурой Т:

r = r(р,Т),                            (50)       

поэтому в задаче появляется новая переменная Т, и для замыкания системы уравнений нужно добавить еще одно уравнение - уравнение энергии. Однако, если в среде отсутствуют источники выделения или поглощения энергии, то изменения температуры в процессе движения газа крайне малы, и при расчете поля давления газа ими можно пренебречь. Это обстоятельство легко понять, если учесть, во-первых, крайнюю малость скорости фильтрации и, во-вторых, наличие теплового балласта - скелета пористой среды, эффективно подавляющего изменения температуры. Будем поэтому считать, что

r = r(р,Т₀)= r(р),                 (51)

где Т₀ - постоянная температура.

    Присоединяя к уравнениям (49) и (51) уравнение закона фильтрации (предполагаемого линейным)

(52)

получаем замкнутую систему уравнений. Исключая скорость фильтрации, имеем

(53)

    В уравнении (53) r - известная функция давления. Аналогично и вязкость газа, зависящая в общем случае от давления и температуры, может быть представлена в виде:

m = m(р,Т₀) =m(р).                   (54)

Таким образом, и вязкость может считаться известной функцией одного лишь давления.

    Введем теперь функции

(55)

    Уравнение (53) принимает при этом вид:

(56)

    Можно показать, что уравнение для давления сохранит форму (56) и в случае, если учитывается деформируемость пористой среды, т. е. зависимость от давления пористости и проницаемости (среда по-прежнему считается однородной).

    В простейшем случае, когда газ можно считать термодинамически идеальным, с вязкостью, не зависящей от давления,

m = const,                                               (57)

(р₀ и r₀ - постоянные). При этом

(58)

и уравнение (56) преобразуется к виду:

(59)

или

    Уравнения (59) и (60) выведены в предположении постоянства температуры газа Т₀. Поэтому их обычно называют уравнениями изотермической фильтрации газа.

    Уравнение (60) - основное для теории фильтрации газа - получено впервые Л. С. Лейбензоном, а затем, несколько позднее, в работе Маскета и Ботсета. Преобразования (55) также берет свое начало от работ Л. С. Лейбензона. Далее уравнение (60) совпадает с уравнением Буссинеска (47) для напора при пологих безнапорных фильтрационных движениях. Эта аналогия, впервые обнаруженная Л. С. Лейбензоном, позволяет рассматривать исследование изотермической фильтрации газа и пологих безнапорных движений несжимаемой жидкости как одну задачу.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ ЗАДАЧИ