ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ

    3.2.1. Предельные автомодельные движения. Рассмотрим теперь для того же полубесконечного пласта несколько иную задачу. Будем исследовать движение на полубесконечном интервале времени (-¥, t), поэтому начальное распределение напора по пласту несущественно.

    Предположим, что на больших расстояниях от границы пласта, т.е. при х® ¥, напор жидкости равен нулю; следовательно,

 

h(¥, t) = 0.                              (72)

 

    Пусть, далее, напор жидкости на границе пласта возрастет со временем по экспоненциальному закону:

 

h(0, t) = h₀e^ht.                          (73)  

 

Напор жидкости внутри пласта h(x, t) по-прежнему удовлетворяет уравнению

(74)

        

    Составим полный список аргументов, от которых зависит это решение. Помимо координаты х и времени t, в этот список войдут также величины h₀, == и a. Тогда размерности всех определяющих параметров решения представляются в виде:

 

[x]=L; [t]=T; [a]=[h]^-1L²T^-1; [h₀]=[h]; [c]=T^-1,      (75)

 

где по-прежнему символы L, T и [h] означают соответственно размерности длины, времени и напора. Из пяти аргументов (75) с тремя независимыми размерностями можно составить две независимые комбинации, которые удобно взять в виде:

 

 

отсюда на основе p- теоремы решение рассматриваемой задачи будет

 

(76)

где j - безразмерная функция.

    Положим теперь t = t¢ + t , где t - произвольная константа. При этом условие (72) и уравнение (74), как нетрудно проверить, записываются через новую переменную t¢, так же как и через прежнюю переменную, а условие (73) принимает вид:

                  

(77)

 

    Таким образом, сдвиг во времени влияет лишь на некоторое преобразование величины h₀, и постановка задачи оказывается по отношению к группе преобразований переноса по времени; для определения h в переменных х, t¢, a, c, h¢₀ получается та же задача, что и для определения h в переменных (75). Стало быть, на основе соотношений (76) и (77) имеем

 

 

(78)

 

    Отсюда следует, что при любом t имеет место тождество

 

(79)

    Положим теперь t = t и получим

(80)

        

    Итак, функция h, зависящая от пяти аргументов (75), представляется через функцию одного аргумента:

(81)

 

    Подставляя (81) в основное уравнение (74), получаем для функции f(x) обыкновенное дифференциальное уравнение

(82)

 

    Подставляя выражение (81) в условие на бесконечности (72) и граничное условие (73), имеем граничные условия для функции f(x):

 

f(0) = 1; f(¥) = 0.                  (83)

 

    В силу непрерывности напора жидкости и потока жидкости функция f(x) по-прежнему должна быть непрерывной и иметь непрерывную производную от квадрата df²/dx. Мы получили, таким образом, для определения функции f(x) граничную задачу того же типа, что и граничные задачи для автомодельных решений, рассмотренных в предыдущем параграфе, и соответствующую значению параметра a, равному бесконечности, т. е. l = 1. Функция f(x) = f(x, 1) тождественно равна нулю при x ³ x₀ = 1,810; передний фронт х₀ (t) перемещается, таким образом, по закону

(84)

 

а скорость его перемещения равна

(85)

 

    Полученное решение является в некотором смысле предельным для автомодельных решений, рассмотренных выше. В самом деле, положим в формуле (66)

 

s = h₀ (at )^-a,                          (86)

 

где h₀ - константа размерности напора; t - константа размерности времени, причем, очевидно, эти константы выбираются с точностью до некоторого постоянного множителя. Решение (66) принимает вид      

 

(87)

 

    Будем неограниченно увеличивать в этом решении a при начальном моменте t₀ ® - ¥ по закону

 

t₀ = - at.                                  (88)

 

    Раскрывая неопределенность, получаем, что при a ® ¥

(89)

 

    Уравнение (67) в пределе при a ® ¥ переходит в уравнение (82), а условия (68) и (69) совпадают с условиями (83); f(x, l) ® f(x, 1) = f(x).

    Обозначая t через 1/c, получаем, что при a ® ¥ решение (87) стремится к решению (81). Поэтому решение (81) было названо предельным автомодельным решением. Это решение было получено в работе Г. И. Баренблатта. предельные автомодельные решения представляют и принципиальный интерес в том отношении, что для доказательства автомодельности этих решений уже недостаточно соображений анализа размерности, т. е. недостаточно инвариантности постановки задачи относительно группы преобразования подобия величин с независимыми размерностями, как это было в ранее рассмотренных автомодельных задачах, а требуется дополнительно воспользоваться инвариантностью постановки задачи относительно еще одной группы - группы преобразований переноса по времени.

    Приведенные при рассмотрении предельной автомодельной задачи рассуждения носят общий характер и могут применяться во многих других задачах. Очевидно, что предельные автомодельные движения существуют всегда, если система основных уравнений рассматриваемой задачи имеет автомодельные решения обычного степенного типа с произвольным показателем степени (который может принимать сколь угодно большие значения) и инвариантна относительно преобразования переноса соответствующей координаты. Как пример можно указать задачу пограничного слоя в несжимаемой жидкости, а также задачу одномерных неустановившихся движений газа. Полученные для этих задач автомодельные решения, содержащие степенные функции независимых переменных, при предельном переходе, аналогичном проделанному в рассматриваемой задаче теории фильтрации, дают предельные автомодельные решения, полученные Гольдштейном и Станюковичем путем формальной постановки.

       Задача. На границе х=0 полубесконечного пласта с непроницаемым горизонтальным водоупором задается поток (расход) жидкости как степенная функция времени

 

(90)

 

Начальный напор во всем пласте равен нулю.

       Решение задачи представляется в виде:

(91)

 

где м (l) =-df²(0, l)/dx , а координата переднего фронта жидкости х₀ (t) - в виде:

 

 

2. Осесимметричные автомодельные движения. При осесимметричных пологих безнапорных движениях жидкости напор жидкости h удовлетворяет уравнению

(93)

 

где r - расстояние рассматриваемой точки пласта от оси симметрии.

    Рассмотрим следующую задачу. Пусть в бесконечный пласт, ограниченный снизу непроницаемой горизонтальной поверхностью - водоупором, через скважину, радиус которой пренебрежимо мал, начинается закачка жидкости. Предположим, что начальный напор жидкости в пласте равен нулю, так что начальное условие на бесконечности имеют вид:

 

h(r, t₀) = 0; h(¥, t) = 0.                 (94)

 

    Предположим далее, что расход закачиваемой жидкости изменяется со временем по степенному закону. Выражение для полного расхода жидкости, закачиваемой через скважину радиусом R, имеет вид:

(95)

 

По предположению, радиус скважины пренебрежимо мал (ниже мы остановимся на причинах, по которым это допущение можно делать для большинства реальных движений), поэтому можно принять R = 0; так как расход жидкости, закачиваемой в скважину, меняется по степенному закону, граничное, условие на скважине принимает вид:

(96)

 

где t > 0 и b > -1. В частности, случай b = 0 соответствует закачке жидкости в пласт с постоянным расходом. Таким образом, решение задачи удовлетворяет уравнению (93) и условиям (94) и (96). По-прежнему, используя p- теорему анализа размерности, можно показать, что это решение является автомодельным и представляется в виде:

 

(97)

Здесь

 

(98)

 

представляют собой две независимые безразмерные комбинации определяющих параметров решения; других независимых комбинаций этих параметров не существует. Постоянный множитель снова введен в формулу для x с целью удобства последующего изложения. Как и прежде, искомая функция должна быть непрерывной и иметь непрерывную производную от квадрата. Подставляя выражение (77) в уравнение (93) и условия (94) и (96), находим, что функция f₁ (x, l) удовлетворяет уравнению

(99)

при условиях

(100)

 

    Исследование этой граничной задачи проводится аналогично предыдущему; также единственным образом строится функция f₁ (x, l), отличающаяся от нуля лишь при 0 £ x £ x₁(l), где x₁ (l) - некоторая функция x, а при x ³ x₁ (l) тождественно равная нулю. Функция f₁ (x, l) при x®0 имеет особенность, как нетрудно видеть из первого условия (100):

(101)

 

    Второе условие (100) может быть приведено к другой форме: умножая уравнение (99) на x и интегрируя в пределах от x = 0 до x = ¥, получаем, используя оба условия (100) и условия

(102)

 

следующее интегральное соотношение:

(103)

        

Первое условие (102) непосредственно следует из условия, которому функция f₁ (x, l) на бесконечности, так как если бы предел == при x ® ¥ не был равен нулю, то функция f₁ (x, l) не стремилась бы к нулю при x ® ¥. Второе условие (102) непосредственно следует из (101).

    Эффективное вычисление функции f₁ (x, l) удобно проводить следующим образом. Строим решение задачи Коши Ф₁(x, l) для уравнения (99). обращающееся в нуль при x = 1 и имеющее в этой точке конечную первую производную. Исследование, в точности аналогичное приведенному в п. 3 x1, показывает, что эта производная равна -1/4. Строить решение задачи Коши удобно так: вблизи x = 1 можно представить решение в виде ряда, при помощи которого находится надлежащее число начальных значений, после чего применяется метод численного интегрирования Адамса - Штермера. Далее численно вычисляется величина

 

 

    Величина N(l) не равна единице, поэтому функция, равная Ф₁ (x, l) при x<1 и тождественно равная нулю при x ³ 1, удовлетворяет всем условиям граничной задачи (99) - (100), кроме первого условия (100). Воспользуемся теперь тем, что, как нетрудно показать, уравнение (99) и второе граничное условие (100) инвариантны относительно группы преобразований:

(104)

 

поэтому при произвольном положительном m функция Ф₂(x, l) удовлетворяет уравнению (99) и второму граничному условию (100). Но

 

(105)

    Выбрав  так, что                            

получим, что функция

(106)

 

 

удовлетворяет всем условиям граничной задачи (99) - (100).