Уравнения безнапорной фильтрации

несжимаемой жидкости    

 

    Под безнапорным фильтрационным движением понимают движение со свободной поверхностью, на которой давление жидкости постоянно и равно внешнему атмосферному давлению. Наиболее часто приходится встречаться с безнапорным движением подземных вод; безнапорное движение нефти встречается сравнительно редко, только при шахтной добыче.

    Рассмотрим безнапорное движение в однородной и изотропной пористой среде, область течения будем предполагать ограниченной снизу непроницаемой и криволинейной поверхностью - водоупором.

    Закон Дарси в рассматриваемом случае можно записать в виде:

(36)

 

    Величина С, имеющая размерность скорости, называется коэффициентом фильтрации, =- напором, а функция Сh- фильтрационным потенциалом. Заметим, что для безнапорного движения изменения давления обычно настолько малы, что пористую среду можно считать недеформируемой, а жидкость несжимаемой, так что С =const, rg = const.

    В точной постановке исследование безнапорного фильтрационного движения представляет исключительные трудности математического характера; относящиеся сюда постановки задач и результаты можно найти в книге П. Я. Полубариновой-Кочиной [94]. Поэтому приходится обращаться к некоторым упрощенным постановкам.

    Большое значение имеет приближенная постановка задачи о безнапорной фильтрации, соответствующая случаю движения, которое будем называть пологим. Под пологим фильтрационным движением понимается движение, происходящее в пластах с конечной глубиной водоупора, в котором вертикальная компонента скорости фильтрации u_z мала сравнительно с горизонтальной компонентой. Так как характерной скоростью в безнапорном фильтрационном движении является скорость С, то горизонтальная компонента скорости фильтрации может быть либо порядка С, либо малой сравнительно с С. В обоих случаях ясно, что вертикальная компонента u_z мала сравнительно с С, т. е.

 

(37)

    Это неравенство можно переписать еще так:

(38)

    Но представляет собой ту часть вертикальной компоненты градиента давления, которая обусловлена фильтрацией жидкости. Неравенство (38) показывает таким образом, что вертикальная компонента фильтрационного градиента давления мала сравнительно с гидростатическим градиентом давления. Поэтому распределение давления по вертикали можно в случае пологих движений считать гидростатическим.

    Выведем важное для дальнейших рассуждений соотношение. Рассмотрим объем V, ограниченный свободной поверхностью жидкости и некоторой цилиндрической поверхностью с вертикальными образующими. Обозначим через h расстояние от свободной поверхности жидкости до водоупора, а через H- расстояние от свободной поверхности до горизонтальной плоскости z = 0; очевидно, dh/dt = dH/dt. Объем жидкости, заключенной в объеме V, равен

(39)

 

где площадка S представляет собой проекцию объема на горизонтальную плоскость. Изменение количества жидкости в объеме V за бесконечно малый промежуток времени dt равно поэтому

(40)

 

    Вместе с тем это изменение равно притоку жидкости в объем V извне за время dt, равному

(41)

 

где g - замкнутый контур, ограничивающий площадку S, а u_n - нормальная компонента вектора потока , определяемого соотношением

(42)

 

    Приравнивая (40) и (41) и используя формулу преобразования контурного интеграла в интеграл по площади

 

 

получаем

(43)

 

откуда, пользуясь произвольностью площадки S, находим уравнение

(44)

 

    Согласно закону Дарси, скорость фильтрации определяется соотношением (36)

    Поскольку, по предыдущему, давление распределяется по вертикали с точностью до малых величин по гидростатическому закону, величина = вдоль каждой вертикали будет постоянна и равна Н:

    (x, y, z, t) = H (x, y, z, t) + O (u_z/C);    =C grad H + O(u_z).

        

    Таким образом, скорость можно, пренебрегая малыми величинами, вынести из-под знака интегрирования по вертикали в соотношении (42), определяющем вектор              Тогда получаем

 

= – Сh grad H.               (45)

 

    Представляя (45) в (44), имеем

                                                                                         (46)

 

    В это уравнение следует подставить соотношение

 

                       H(x, y, t) = h(x, y, t) + h₀ (x,y),

 

определяющее вертикальную координату свободной поверхности Н через ее расстояние h до водоупора и расстояние h₀ от водоупора до плоскости отсчета z = 0; получим окончательное уравнение для определения h. В частности, если поверхность водоупора представляет собой горизонтальную плоскость, то ее можно принять за плоскость отсчета и, следовательно, h₀ (x,y) можно считать равным нулю. Тогда Н= h, и уравнение (46) принимает вид:

(47)

 

    Уравнения (46) и (47) были даны Буссинеском.