Механический принцип относительности 4 страница

Минковский вслед за А.Пуанкаре, понял, что совокупность физических событий, каждое из которых характеризуется четырьмя числами в выбранной инерциальной системе отсчета, можно рассматривать как множество точек в геометрическом пространстве четырех измерений с определенными линейными и метрическими свойствами. Каждая точка в четырехмерном пространстве-времени называется мировой точкой. Линия, соединяющие мировые точки движущегося физического объекта, называется мировой линией. Двум соседним точкам в четырехмерном пространстве-времени ставится в соответствие численная мера, называемая мировым интервалом. Преобразования Лоренца служат правилами перехода от одной системы отсчета к другой. Особенностью пространства событий является его псевдоевклидова метрика, что связано с инвариантностью скорости света.

 

Рис. 4.

Для наглядности двумерное пространство Минковского можно условно представить в виде совокупности точек в прямоугольной системе координат, по оси абсцисс, которой отложены пространственные координаты события, а по оси ординат – время события, умноженное на с. В такой системе координат прямые линии, проходящие через начало координат под углом 45⁰  к осям координат, представляют мировые линии света (рис. 4). Эти линии называются изотропными линиями. Длина любого отрезка на этих линиях равна нулю. Подобное своеобразие свойств изотропных прямых вызвано тем, что интервал между любыми парами точек на этих прямых равен нулю. Изотропные линии делят все пространство мировых событий на четыре сектора. Точки, лежащие в верхнем секторе по отношению к началу системы координат, соответствуют событиям, которые могут произойти в будущем. Точки нижнего сектора  относятся к событиям прошлого. Точки левого и правого секторов представляют абсолютно удаленные события от события в начале координат.

В дальнейшем все известные физические законы были записаны в четырехмерном формализме Минковского, что привело к созданию новой релятивистской физической исследовательской программы, пришедшей на смену механической исследовательской программе.

Т.о., в СТО размеры тел и время протекания процессов ставятся в прямую зависимость от системы отсчета, в которой производится измерение. Оказалось, что физический процесс может быть описан только по отношению к конкретной системе отсчета, выбор которой зависит от наблюдателя. Иначе говоря, для адекватного описания релятивистских явлений фактор наблюдателя становится существенным.

Теория относительности, таким образом, сформировала новое представление о пространстве и времени. Пространственно-временные отношения являются не абсолютными величинами, как считалось в классической механике, а относительными. Следовательно, представления об абсолютном пространстве и времени являются несостоятельными. Инвариантность интервала между событиями свидетельствует о том, что пространство и время органически связаны между собой и образуют единое пространство-время, называемое пространственно-временным континуумом.

Уравнения СТО, описывающие движение тел со скоростями, близкими к скорости света, при малых скоростях движения V << c, эти уравнения переходят в уравнения классической механики. В этом проявляется важнейший методологический принцип естествознания ‑ принцип соответствия.

СТО возникла из электродинамики и мало чем изменила её содержание, но зато значительно упростила её теоретическую конструкцию, т.е. выводы законов и, самое главное, уменьшила количество независимых гипотез, лежащих в её основе.

Против СТО выдвигалось много утверждений, но все их удалось отклонить. Всякий раз удавалось показать, что экспериментальные данные подтверждают положения СТО лучше, чем положения механики Ньютона. СТО давно перешла из разряда гипотетических теорий в область прикладных инженерных инструментов.

Как всегда в таких случаях, когда давно известные явления рассматриваются с новой точки зрения, люди получили возможность создавать новые методы физических исследований, новые технологии, получили доступ к новым источникам энергии. Наибольшее прикладное значение выводы СТО имели в области ядерной физики, физики элементарных частиц, астрофизики, ядерной энергетики, ускорительной техники, при создании оружия массового уничтожения. Применение релятивистских взглядов для описания природы позволило человечеству освоить новые источники энергии, открыть новые явления, разработать новые методы теоретического и экспериментального исследования природы.

Описание физических явлений в четырехмерном многообразии «пространства-времени» завершило построение физической картины мира, основанной на принципах классической причинности и относительности.

СТО, раскрыв взаимосвязь пространства и времени между собой, не смогла ответить на вопросы о том, как связаны они с телами, находящимися в пространстве, и полями тяготения. Процесс поиска ответа на эти вопросы завершился построением общей теории относительности (ОТО).

2.2.4.4.  Об общей теории относительности (ОТО)

В механической картине мира понятия пространства и времени рассматривались вне связи со свойствами движущейся материи. Пространство в ней выступает в виде своеобразного вместилища для движущихся тел, а время никак не учитывает реальные изменения, происходящие с ними, и поэтому выступает просто как геометрический параметр, знак которого можно менять на обратный. Иными словами, в механике рассматриваются лишь обратимые процессы, что значительно упрощает действительность.

Другой недостаток этой картины состоит в том, что в ней пространство и время как формы существования материи изучаются отдельно и обособленно, вследствие чего связь между ними остается нераскрытой.

Теория Ньютона предполагает мгновенное распространение тяготения и поэтому не может быть согласована с СТО. Её нельзя применять в сильных гравитационных полях, разгоняющих тела до субсветовых скоростей.В частности, она не применима для расчета траектории света в поле тяготения. Теория Ньютона неприменима также для расчета переменных гравитационных полей, создаваемых движущимися телами.

В рамках ОТО А. Эйнштейн обратился к проблеме тяготения. Поэтому ОТО часто называют теорией тяготения. В ней были раскрыты новые стороны зависимости пространственно- временных отношений от материальных процессов.

ОТО, представляющая по существу современную релятивистскую теорию гравитации, была создана А.Эйнштейном в период с 1906 по 1916 гг. Основные положения новой теории А.Эйнштейн изложил в статьях: «Закон сохранения движения центра тяжести и инерция энергии» (1906), «О принципе относительности и его следствиях» (1907), «О влиянии силы тяжести на распространение света» (1911), «Проект общей теории относительности и теория тяготения» (в соавторстве с М.Гроссманом, 1913), «К современному состоянию проблемы тяготения» (1913), «К общей теории относительности» (1915) и др.

1). Принцип эквивалентности

Принцип эквивалентности является основополагающим в ОТО.

Ньютон, как известно, является автором двух законов, в которых фигурирует понятие массы (m): второго закона динамики и закона всемирного тяготения. Массу, представленную в уравнении второго закона динамики называют инертной массой (m _и), а в законе всемирного тяготения – гравитационной массой (m _г). В принципе ниоткуда не следует, что масса, создающая поле тяготения, определяет и инерцию того же тела. Однако точными экспериментами было установлено, что инертная и гравитационная массы по своему численному значению совпадают. Впервые на этот факт обратил внимание И.Ньютон.

Можно считать, что принцип эквивалентности инертной и гравитационной масс твердо установлен экспериментально: для всех веществ инертная и гравитационная массы точно совпадают: m _и m _г.

Из этого принципа следует, что тела разной массы и природы движутся в заданном гравитационном поле совершенно одинаково, если их начальные скорости одинаковы.

В отличие от других полей, например, электромагнитных, поле тяготения обладает одним замечательным свойством: все находящиеся в нем тела испытывают ускорение, не зависящее ни от материала, ни от их физического состояния.

 Ещё Галилеем был установлен факт, что на поверхности Земли все тела падают под влиянием поля тяготения с одинаковым ускорением – ускорением свободного падения.

Т.о., существует глубокая аналогия между движением тел в гравитационном поле и движение тел в отсутствии этого поля в НСО. Отмеченное свойство гравитационного поля является исключительным, не присущим ни электромагнитному, ни другим физическим полям.

Принцип эквивалентности инертной и гравитационной масс позволяет провести аналогию между рассмотрением движения тел в ИСО при наличии гравитационного поля и описанием их движения с точки зрения НСО в отсутствии поля тяготения.

Силы инерции, действующие на тела в НСО, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые относительные ускорения. Похожая закономерность наблюдается при движении относительно ИСО тел, находящихся под действием сил гравитационного поля. В каждой точке поля эти силы, подобно силам инерции, пропорциональны массам тел и сообщают всем телам одинаковые ускорения свободного падения, равные напряженности поля в рассматриваемой точке. В мысленном эксперименте Эйнштейн обратил внимание, что наблюдатель, находящийся в закрытой (без окон) кабине, не в состоянии отличить влияние тяготения от эффектов ускоренного движения. Значит эффекты гравитации и ускоренного движения неразличимы.

Например, в НСО, связанной с кабиной лифта, движущегося вертикально вверх с постоянным ускорением  =   все свободные тела падают в отсутствии гравитационного поля с одинаковым ускорением ₁ = -  где g = 9,81 м/с² – ускорение свободного падения (напряженность гравитационного поля) вблизи поверхности Земли. Точно также ведут себя свободные тела в том же лифте, движущемся равномерно при наличии гравитационного поля Земли. Т.о., на основе экспериментов по свободному падению тел внутри наглухо закрытого лифта нельзя установить, движется ли лифт равномерно в гравитационном поле напряженностью  = или он движется с постоянным ускорением ₁ = -  в отсутствии гравитационного поля.

Этот вывод, распространенный на все физические явления, и составляет содержание принципа эквивалентности, сформулированного Эйнштейном в 1907 г.: гравитационное поле в ограниченной области пространства  (когда поле можно считать однородным) физически эквивалентно «полю сил инерции» в соответствующим образом выбранной неинерциальной системе отсчета.

Однако, гравитационные силы полностью силам инерции не тождественны, хотя бы потому, что гравитационное поле, в отличие от «эквивалентного» силам инерции, существует как в НСО, так и в ИСО. Кроме того принцип справедлив только для однородных гравитационных полей, т.е. в достаточно небольшой области пространства. Т.о., принцип эквивалентности – приближенный принцип.

 

 

2). Постулаты общей теории относительности

СТО возникла в связи с попыткой выразить законы физики в такой форме, чтобы они выполнялись во всех ИСО. Возникает вопрос: а что произойдет, если вместо ИСО взять НСО? Ответ на него дает ОТО, которая так и называется потому, что она обобщает частный, или специальный, принцип относительности. Соответственно этому мы должны различать СТО и ОТО. В связи с этим и возникает проблема: построить такую общую физическую теорию, в которой законы природы были бы верны относительно любых систем отсчета.

Первый постулат ОТО:

законы физики могут быть выражены в уравнениях, имеющих одинаковую форму во всех системах отсчета, независимо от их состояния движения или законы физики инвариантны относительно любых систем отсчета.

Второй постулат:

все физические явления в однородном поле тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем однородном поле сил инерции.

В ОТО обобщается вывод о конечной скорости распространения всех видов взаимодействий. Согласно ОТО изменения гравитационного поля распространяются в вакууме со скоростью света с. Необходимо отметить, что в ОТО отказываются от постоянства скорости света в гравитационном поле. Исходя из того, что скорость света в поле тяготения уменьшается, Эйнштейн пришел к выводу об искривлении траектории лучей света в гравитационном поле.

3). Метрические эффекты общей теории относительности

Метрические эффекты, возникающие под действием гравитационных сил, эквивалентны эффектам, возникающим под действием ускорения. Важнейшим выводом ОТО стала идея, согласно которой изменение пространственных и временных характеристик тел происходит не только при движении с большими скоростями, как это было доказано СТО, но и в гравитационных полях.

Согласно СТО в ИСО интервал выражается формулой:

ds² = c² dt² – dx² – dy² – dz² .

Выражение для интервала в НСО выглядит существенно другим: перед пространственными и временными координатами появляются новые функции, к тому же пространственные и временные координаты перестают быть независимыми друг от друга: ds ² = g_ik dxⁱ dx^k, где i , k = 0,1,2,3, g_ik – метрический тензор, dxⁱ  и dx^k – соответствующие координаты события.

В теории тяготения Эйнштейна пространственно-временной континуум является криволинейным, его кривизна задается величинами g_ik. Тяготение представлено искривленностью пространства-времени. В системах отсчета все тела при равных начальных скоростях движутся одинаково, но не по прямым линиям, а искривленным, о которых дают наглядное представление, например, траектории планет и комет Солнечной системы. То, что наблюдатель считает силой тяжести (в ньютоновском понимании), на самом деле является мерой внешнего проявления искривления пространства-времени.

В настоящее время наиболее адекватное объяснение природы гравитации основывается на ОТО.

а). Различные системы геометрии и их характеристики

В течение почти двух тысяч лет единственно возможной и совершенно точно описывающей свойства реального мира считалась геометрия Евклида. В её единственности видели свидетельство того, что пространство везде и всюду одно и то же.

От единственности евклидовой геометрии отказались в 19 в. и установили, что логически возможны и непротиворечивы три системы геометрии: Евклида, Н.И.Лобачевского (1792-1856) и Б.Римана (1826-1866)[136]. Для прояснения их различия обычно прибегают к следующему примеру. Вместо пространства трех измерений берут пространство двух измерений, т.е. поверхность. Геометрия Евклида осуществляется на плоскости (кривизна поверхности нулевая), Римана – на поверхности сферы (поверхность положительной кривизны), Лобачевского – на псевдосфере (поверхность отрицательной кривизны, напоминающая поверхность лошадиного седла). Различие трех систем геометрии нагляднее всего иллюстрируется на примере о сумме углов треугольника (рис. 5).

Рис. 5.

 В евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна , в римановой геометрии – больше , в геометрии Лобачевского – меньше . Можно ввести понятие дефекта треугольника ( ) как разницы суммы углов треугольника и . В геометрии Евклида  = 0, в геометрии Римана > 0, в геометрии Лобачевского < 0.

Дефект треугольника, деленный на его площадь ( ), дает внутреннюю меру кривизны поверхности, т.е. меру отступления свойств поверхности от евклидовой (т.е. плоской) поверхности.

Меру кривизны поверхности можно установить двумя способами: внешним и внутренним. Внешний способ состоит в том, что мы рассматриваем двухмерную поверхность в трехмерном пространстве и обнаруживаем её отклонение от плоской поверхности. Это отклонение носит наглядный характер. Внутренний способ основан на определении дефекта треугольника. Отличие дефекта от нуля и будет мерой кривизны.

Сказанное о двухмерной поверхности можно перенести и на трехмерное пространство. Но в этом случае внешний способ определения кривизны пространства не возможен, т.к. для этого трехмерное пространство надо было бы поместить в некоторое четырехмерное пространство, которого физически не существует. Однако внутренним способом мы можем определить кривизну пространства. Понятно, что свойство, определяемое отклонением  от нуля, называется кривизной в сугубо условном смысле слова, лишь в порядке указания на чувственно-наглядное происхождение этого понятия.

В ОТО как раз показано, что геометрии Римана и Лобачевского – это не просто математические абстракции, они отражают неевклидовость реального пространства. В ОТО инвариантность физических законов в системах отсчета, в которых действуют гравитационные силы (или которые являются неинерциальными), достигается относительно локальных преобразований в римановом четырехмерном пространстве-времени положительной кривизны.

 

б). Связь пространства-времени с материей

Как утверждает ОТО, в тех местах, где сосредоточены большие массы, пространство искривляется, а ход всех процессов замедляется.

Проиллюстрируем это двумя мысленными экспериментами. Пусть лифт покоится в отсутствие гравитационного поля (рис.6). Через отверстие А в стенке лифта в него попадает световой луч и падает на противоположную стенку в точке В. Луч света – наилучшая физическая реализация геометрического понятия прямой линии. Мы, не задумываясь, скажем, что линия АВ – прямая. Пусть теперь лифт начал двигаться вверх с ускорением g. За время, пока свет проходит расстояние между стенками, лифт успевает переместиться вверх, и луч света попадает уже не в точку В, а в точку В^’. Но согласно принципу эквивалентности ускоренное движение равнозначно наличию поля тяготения. Значит, в гравитационном поле траектория светового луча АВ^’ оказывается искривленной. Линия АВ^’ сохраняет свойство, которым в евклидовой геометрии обладает прямая, ‑ быть кратчайшим расстоянием между двумя точками и называется прямейшей или геодезической линией.

Рис. 6.

Т.к. гравитационные поля всегда имеются, то это значит, что любые линии в реальном пространстве, которые можно физически идентифицировать, не будут евклидовыми прямыми и, следовательно, метрика пространства неевклидова.

Следующий мысленный эксперимент. Рассмотрим НСО, равномерно вращающуюся относительно ИСО вокруг их общей оси. В горизонтальной плоскости НСО построим окружность с центром на оси вращения.

Если рассматривать два экземпляра одинаковых часов (вращающихся вместе с НСО): один на окружности, а другой в её центре, то при наблюдении из ИСО часы на окружности будут идти медленнее, чем часы в центре. Следовательно, то же должно происходить и с точки зрения НСО. Т.о., и свойства времени меняются при переходе к НСО.

В этом примере НСО являлась вращающаяся система отсчета. В такой системе отсчета проявляется поле центробежных сил. В центре окружности силы равны нулю, а на самой окружности принимают максимальные значения.

Применяя к изложенному принцип эквивалентности, можно сделать вывод, что всякое гравитационное поле является не чем иным, как изменением геометрических свойств пространства-времени.

Т.о., согласно ОТО истинное гравитационное поле есть проявление искривления четырехмерного пространства-времени. Кривизна пространства – времени создается источниками гравитационного поля, к которым относятся не только масса вещества, но и все физические поля, а также все виды энергии, присутствующие в системе.

«Искривление» реального пространства можно наглядно проиллюстрировать в двухмерном случае на примере листа резины и лежащими на нем свинцовыми шариками различной массы. Там, где масса шариков больше, больше и прогиб листа резины

В отсутствии тяготения (идеальный случай) в пространстве-времени ОТО движение тела по инерции изображается прямой линией. В поле тяготения все тела движутся по геодезическим линиям в пространстве-времени, которое искривлено и, следовательно, геодезические линии не прямые. Наблюдатель воспринимает это движение по искривленным траекториям в трехмерном пространстве с переменной скоростью. В заданном поле тяготения все тела независимо от массы будут двигаться по одним и тем же геодезическим линиям (т.е. совершенно одинаково). Поэтому изменение скорости любых тел, т.е. их ускорения, в данном гравитационном поле одинаково. Одинаковость ускорений тел любой массы означает тождественность инертной и гравитационной масс.

Оказалось, что сами материальные тела, их распределение в пространстве и движение полностью определяют геометрию пространства и свойства времени.

Тела в искривленном пространстве-времени движутся свободно, по так называемым геодезическим линиям, линиям наикратчайшего расстояния между точками пространства. Американский физик А.Уилер[137] дал такую характеристику ОТО: «Вещество говорит пространству, как тому искривляться, а пространство говорит веществу, как тому двигаться».

В таком искривленном пространстве исчезает, как таковое, движение по евклидовым прямым, образом которого (образом прямой линии) является движение луча света. В ИСО свет распространяется по прямой линии с постоянной скоростью с. Относительно НСО световой луч не будет двигаться прямолинейно, ибо в этом случае он будет находиться в поле тяготения. Следовательно, в поле тяготения световые лучи распространяются криволинейно, по геодезическим линиям. Искривление светового луча в поле тяготения свидетельствует, что скорость света в таком поле не может быть постоянной, а изменяется от одного места к другому.

 Тогда получаем, что луч света уже никогда не распространяется по прямой, а только по искривленной линии. Впрочем, и любое тело теперь уже не движется по прямой, а только по кривой. Более того, ни одна линия в таком случае не может быть замкнутой в евклидовом смысле, так что, например, ни одна планета не возвращается в исходную точку своей траектории. Далее, ни одно периодическое движение (того же света, электромагнитной волны другой частоты) не сохраняет своей периодичности (частоты) при распространении в искривленном поле тяготения.

Важнейший вывод: не имеет место (не выполняется) принцип обратимости движения (и времени), ибо никакое движение в искривленном пространстве (поле тяготения) себя полностью никогда не повторяет. В природе, таким образом, господствует принцип необратимости движения и времени.

Иными словами, гравитационное поле может интерпретироваться как следствие искривления пространства.

Картина искривления пространства-времени сложнее картины мира, основанной на евклидовой геометрии, которой мы привыкли пользоваться. Искривление пространства-времени трудно воспринимать, для построения теории движения планет используется плоское пространство-время. Расстояния, на которых происходит искривление пространства-времени, очень велики, поэтому человек не может построить адекватную модель или схему и не в состоянии проверить теорию с помощью прямых измерений.

Необходимо отметить, что никакой кривизны в смысле искривления нашего пространства в неком реальном четырехмерном пространстве, разумеется, нет. Под кривизной пространства современная наука понимает отступление его метрики от евклидовой, и это отступление описывается на строго математическом языке. Для наглядности такое отклонение метрики называется кривизной пространства, что не должно пониматься буквально и вводить в заблуждение.

В случае слабых гравитационных полей метрика пространства-времени мало отличается от евклидовой и уравнения ОТО переходят в уравнения теории Ньютона.

4). Экспериментальная проверка общей теории относительности

Прямая, непосредственная проверка ОТО в обычных лабораторных условиях затруднительна, поскольку её следствия и результаты находятся либо за пределами точности современной измерительной аппаратуры, либо относится к космическим объектам, которые пока не удалось обнаружить. Вместе с тем, справедливость ОТО подтверждается совпадением следствий из неё с целым рядом экспериментальных данных, которые были необъяснимы в ньютоновской теории.

а). Искривление светового луча

Т.к. со световым импульсом, обладающим энергией Ɛ, связана инертная масса m _и = Ɛ/с², то из принципа эквивалентности следует, что со световым импульсом связана и гравитационная масса m_г. Т.о., свет подвержен действию гравитационных сил. Теория тяготения Эйнштейна предсказывала искривление луча света при прохождении вблизи массивных тел. Аналогичное отклонение следует и из ньютоновской теории тяготения, однако ОТО предсказывает вдвое больший эффект.

В частности, если свет от звезды распространяется вблизи края Солнца, то должно наблюдаться смещение луча. Впервые этот эффект обнаружили в 1919 г. во время полного солнечного затмения участники специальной международной экспедиции. При сравнении ими фотографий звездного неба вблизи края Солнца в момент затмения с фотографиями того же участка неба, но снятого без Солнца, обнаружилось смещение звезд. Это отклонение у края Солнца составило 1,75 что совпадало с предсказаниями ОТО.

б). Гравитационное красное смещение[138]

Согласно ОТО в сильном гравитационном поле должно происходить замедление времени. Т.о., атомные часы на поверхности Солнца должны идти медленнее, чем на поверхности Земли. Должна наблюдаться также бо льшая длительность времени распространения света в поле тяготения, чем это дают расчеты без учета эффектов ОТО. Для луча, проходящего вблизи Солнца, эта задержка составляет около 2•10^-4 с.

В качестве простейших атомных часов можно рассматривать колебания атома или световых квантов – фотонов. Сдвиг частоты колебаний фотонов в поле тяготения приводит к изменению цвета светового пучка в сторону красного участка спектра, которое называется поэтому гравитационным красным смещением.

Гравитационное красное смещение следует из принципа эквивалентности, но его можно объяснить иначе, а именно: чтобы свет мог покинуть область с полем тяготения (например, поле звезды или планеты), он должен совершить работу, т.е. потерять часть своей энергии. Утрата энергии ведет к уменьшению частоты света, покидающего указанные массивные тела. При уменьшении частоты света убывает и число регистрируемых в единицу времени волновых максимумов. Если их временное следование считать за «тикание» часов, то ясно, что в поле тяготения это «тикание» совершается реже, медленнее. Вот поэтому гравитационное красное смещение можно толковать как замедление времени. В земных условиях из-за малости величины поля тяготения естественное отставание часов на 1 с накапливается за 50 лет! И тем не менее этот эффект был зарегистрирован в 1960 г. в экспериментах американских физиков Р. Паунда и Дж. Ребки. В 1976 г. гравитационное замедление времени было подтверждено группой американских физиков из Мерилендского университета. Измерялась разность показаний атомных часов на самолете и в наземной лаборатории. Опыт подтвердил теорию с точностью до 1,6%.