Минор. Алгебраическое дополнение. Определитель квадратной матрицы произвольного порядка.

Минором называют определитель, полученный из исходного определителя матрицы путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент, соответствующий минору: M_ij

Пример:

А=               Запишем минор соответствующий элементу а_11:

М₁₁ = = a₂₂*a₃₃ – a₃₂*a₂₃

Алгебраическим дополнением (А_ij) соответствующему элементу а_ij называется его минор со знаком -1^i+j

a_{11 =} A₁₁= -1¹⁺¹*m_{11 =} m₁₁

Формула для вычисления алгебраического дополнения:

А_ij=(-1)^i+j*M_ij

Определитель произвольного порядка всегда можно вычислить по теореме Лапласа:

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраическое дополнение.

= а₁₁*A₁₁ + a₁₂*A₁₂ … a_1n*A_1n =

= a₂₁*A₂₁ + a₂₂*A₂₂ … a­_2n *A_2n =

= a₁₁*A₁₁ + a₂₁*A₂₁ … a_n1­ *A_n1

Вопрос №7

Обратная матрица. Необходимые условия существования обратной матрицы. Вычисление обратное матрицы.

Матрица А называется обратной для квадратной матрицы А, если выполняется следующее равенство:

                                 А^-1 *А=А*А^-1=Е (Е – единичная матрица)          

Необходимое условие существования обратное матрицы: для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу А^-1, необходимо чтобы определитель |А| не =0.

= det(A) =  не =0.

Док-во:  Предположим, что А^-1 действительно является обратной матрицей. Докажем от обратного, что определитель матрицы (А) не =0:

|A*A^-1| = |E|
|A| * |A^-1| = 1
A=0 => 0*|A^-1| не =1.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Вычисляется det(A)

2. Вычисляется алгебраическое дополнение для всех эл-тов матрицы. Из них составляется союзная матрица А^*

3. Выполняется транспонирование союзной матрицы

4. Вычисляется обратная матрица по след. формуле:

А^-1=

5. Проверка: А*А^-1=Е.

Вопрос №8
Система линейных алгебраических уравнений(СЛАУ). Решение СЛАУ. Типы СЛАУ.

Системой линейных алгебраических уравнений порядка n называется выражение вида:

Решение СЛАУ:

Решением СЛАУ называют упорядоченный набор чисел, сведенный в матрицу Х.

Пример:    A=   X=   B=    A*X=B

Типы СЛАУ:

1. Если система не имеет ни одного решения – она несовместная.

2. Если система имеет единственное решение – она определенная.

3. Если система имеет более одного решения – она неопределенная.

*определенная и неопределенная система имеют общее название – совместная.

Вопрос №9
Матричная форма записи СЛАУ порядка n . Решение СЛАУ с помощью обратной матрицы.

Матричная форма запили СЛАУ:

A=       X=      B=

A*X=B – матричная форма СЛАУ.

Решение СЛАУ с помощью обратной матрицы:

Пусть дана СЛАУ в матричной форме:

А*Х=В

До множим обе части на обратную матрицу для матрицы А (слева!!)

A^-1*А*Х = А^-1*В

Е*Х=А^-1*В

Х=А^-1*В

Таким образом при решении СЛАУ методом обратной матрицы необходимо вычислить А^-1 и умножить на В.

Вопрос №10.