Общее уравнение прямой. Частные случаи общего уравнения прямой.

Общее уравнение прямой:

Ax + By + C = 0

 

Частные случаи общего уравнения прямой:

а) Если C = 0, уравнение (2) будет иметь вид

Ax + By = 0,

и прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат, так как координаты начала координат x = 0, y = 0 удовлетворяют этому уравнению.

б) Если в общем уравнении прямой (2) B = 0, то уравнение примет вид

Ax + С = 0, или .

Уравнение не содержит переменной y, а определяемая этим уравнением прямая параллельна оси Oy.

в) Если в общем уравнении прямой (2) A = 0, то это уравнение примет вид

By + С = 0, или ;

уравнение не содержит переменной x, а определяемая им прямая параллельна оси Ox.

Следует запомнить: если прямая параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.

г) При C = 0 и A = 0 уравнение (2) принимает вид By = 0, или y = 0.

Это уравнение оси Ox.

д) При C = 0 и B = 0 уравнение (2) запишется в виде Ax = 0 или x = 0.

Это уравнение оси Oy.

 

Вопрос №21

Различные виды уравнения прямой линии на плоскости(уравнение прямой в отрезках, с угловым коэффициентом и др.)

 

Уравнение прямой в отрезках:
Допустим, что в общем уравнении прямой:

1. С = 0 Ах + Ву = 0 – прямая проходит через начало координат.

2. а = 0      Ву + С = 0   у =

3. в = 0 Ах + С = 0 х =

4. в=С=0  Ах = 0   х = 0

5. а=С=0  Ву = 0   у = 0

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Любая прямая, не равная оси ОУ (В не=0), может быть записана в след. виде:

у = kx + b

k = tgα  α – угол между прямой и положительно направленной линией ОХ

b – точка пересечения прямой с осью ОУ

 

Док-во:

Ах+Ву+С = 0

Ву= -Ах-С |:В

 

У =

 

У = kx + b

Уравнение прямой по двум точкам:

 

Вопрос №22

Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Условие параллельности прямых. Условие перпендикулярности прямых.

l₁                                      l₂          l₁ : A₁x + B₁y + C₁ = 0
                                                      l₂ : A₂x + B₂y + C₂ = 0    

      S₂                 S₁             Вектора S₁ и S₂ называются направляющими для своих прямых.

                                                   

                                                         

 

 

 Угол между прямыми l₁ и l₂ определяется углом между направляющими векторами.
Теорема 1: cos угла между l₁ и l₂ = cos(l₁ ; l₂) =

Теорема 2: Для того, чтобы 2 прямые были равны необходимо и достаточно:

l₁ = l₂ ó

 

Теорема 3: чтобы 2 прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно:

l₁ l₂ ó A₁A₂ + B₁B₂ = 0

 

Вопрос №23

Плоскость. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.

Под нормальным вектором плоскости называют любой вектор, перпендикулярный этой плоскости.

 

Теорема: Пусть в пространстве задана точка М₀ с координатами (х₀, у₀, z₀) и вектор N (A, B, C), тогда уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендик.N имеет след. вид:

А(х-х₀) + В(у-у₀) + С(z-z₀) = 0

M0M = (x-x0; y-y0; z-z0) N M0M => N – M0M = 0 А(х-х0) + В(у-у0) + С(z-z0) = 0  (1) Уравнение (1) называется уравнением по точке и нормальному вектору; х0, у0, z0 - координаты точки; A,B,C –координаты нормального вектора, x, y, z – координаты произвольной точки плоскости.

N (A, B, C)

M (x, y, z)

M0 (x0, y0, z0)

Док-во:

α

                                              

 

 

Вопрос №24