Общее уравнение плоскости и его частные случаи. Уравнение плоскости в отрезках.

Общее уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Частные случаи:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – плоскость проходит через начало координат

2. С=0   Ax+By+D = 0 – плоскость || OZ

3. В=0  Ax+Cz+d = 0 – плоскость || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – плоскость || OX

5. A=0 и D=0 By+Cz = 0 – плоскость проходит через OX

6. В=0 и D=0 Ax+Cz = 0 – плоскость проходит через OY

7. C=0 и D=0 Ax+By = 0 – плоскость проходит через OZ

Уравнение плоскости в отрезках:

Теорема: любую плоскость, не проходящую через начало координат и не || координатным осям и не проходящую через них (А не=0, В не=0, С не=0 и D не=0), может быть записана в след.виде:

Уравнение называется уравнением плоскости в отрезках, a,b,c – отрезки, отсекаемые соответственно на координатных осях OX, OY и OZ.

 

Вопрос №25

Проекция вектора на ось. Расстояние от точки до плоскости в пространстве.

Теорема: проекция вектора на числовую ось вычисляется как произведение длины этого вектора на cps угла между векторами и положительными направлениями числовой оси.

Пр_xа = |а|cosФ

Док-во:  1. Угол Ф – острый:

cosФ =

Пр_ха = |a| cosФ

 

          2. Угол Ф – тупой:

сos(π-Ф) =

|а|(сosФ) = Пр_ха

Пр_ха = |а| *cosФ

 

Разность от точки до плоскости в пространстве:

 Плоскость задана общим уравнением:

Ax + By + Cz + D = 0

Проходит через точку М₀ (х₀, у₀, z₀)  N(A,B,C)

Теорема: расстояние от точки до угла вычисляется по след. формуле:

d =

 

Вопрос №26

Взаимное расположение плоскостей и прямых линий в пространстве. Углы между прямыми и плоскостями.

Взаимное расположение плоскостей и прямых линий в пространстве:

1. Углом между прямыми в пространстве называется угол между их направляющими векторами.

Cos (l₁; l₂) = cos(S₁; S₂) =  =

2. Углом между плоскостями определяется через угол между их нормальными векторами.

Cos (l₁; l₂) = cos(N₁; N₂) =  =

3. Косинус угла между прямой и плоскостью можно найти через sin угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

4. 2 прямые || в пространстве, когда их || направляющие вектора

5. 2 плоскости || когда || нормальные вектора

6. Аналогично вводятся понятия перпендикулярности прямых и плоскостей.

 

Вопрос №27

Общее уравнение кривой второго порядка. Нормальное и общее уравнение окружности. Уравнение параболы.

Общее уравнение кривой второго порядка:

Ах² + Bxy + (y² + Dx + Ey + F) = 0

Нормальное и общее уравнение окружности:

0

Y

X

M(x; y)

M0(x0; y0)

R

                                              Уравнение окружности: |M₀M| = R

 

(x-x₀)² + (y-y₀)² = R² – нормальное уравнение окружности

Ax² + Ay² + Dx + Ey + F = 0 – общее уравнение окружности

M0(x0; y0)

Уравнение параболы:

(y – y₀)² = 2p (x-x₀)²

P – параметр параболы

 

 

Вопрос №28

Числовые множества и операции над ними. Определение функции. Свойства функции.

Числовые множества и операции над ними:

Множество – совокупность объектов, объединенных одним свойством.

Числовое множество – множество, состоящее из чисел.