Число степеней свободы системы

Число степеней свободы (W) - это количество независимых геомет- рических параметров, определяющих положение точек системы на плоско- сти. Под степенью свободы в данном случае понимают подвижность сис- темы под нагрузкой, если она имеет бесконечно большую жесткость, то есть перемещается как абсолютно жесткое тело. Тогда, система с одной степенью свободы - это механизм, имеющий подвижность в одном на- правлении и т. д. Исходя из этого, ГН-системы должны иметь нулевую ли- бо отрицательную степень свободы. Для определения W необходимо вве- сти понятие диска.

Диск – плоская ГН-система. Это может быть часть стержневой сис- темы, если геометрическая неизменяемость ее доказана, либо система в целом. Изначально считается, что на простые диски система делится шар- нирами. Конечная цель анализа – доказать, что вся система в целом являет- ся диском, неподвижным относительно «земли» (в случае ГН-системы).

Y                                         Представим диск, не присоединенный к «земле»

в виде стержня. Он имеет три степени свободы.

Положение всех его точек можно определить

y

1

x₁

Рис. 1.13

тремя параметрами: координатами левого конца

x₁ и y₁, а также углом наклона к оси X – a (рис. X 1.13). Внешние и внутренние связи понижают число степеней свободы. Тогда выражение W

для плоской стержневой системы можно пред- ставить следующим образом:

W = 3Д – 2Ш – С₀,                    (1.1)

где Д – число дисков; Ш – число шарниров, соединяющих диски (удваи- вается, так как шарнир содержит две связи). Если шарнир соединяет не- сколько дисков, он называется кратным. Количество шарниров в таком узле определяется по формуле Ш = Д - 1, где Д – число соединяемых дисков. Например, если в узле k шарниром соединяется три диска, то ко- личество шарниров этом узле равно двум. С₀ – число опорных связей.

Подсчет числа степеней свободы шарнирно-стержневой системы (фермы)

В этом случае использование формулы (1.1) трудоемко, так как шарниры в узлах фермы являются

Рис. 1.14. Статически определимая ферма

кратными (каждый стержень счита- ется диском).

Введем обозначения: У – число узлов фермы: С – число стержней, С₀

- число опорных связей. Число возможных уравнений статики для расчета фермы равно 2У (два уравнения для каждого узла). Количество неизвест- ных задачи статического расчета равно С+С₀. Условие статической опре- делимости фермы определится равенством: 2У = С+С₀ .

Отсюда выражение для подсчета числа степеней свободы фермы бу- дет следующим:

W = 2У – С – С₀                                         (1.2)

Условия геометрической неизменяемости системы

После определения числа степеней свободы системы можно сделать следующие выводы. Если W > 0, система геометрически изменяема. Одна- ко, если W £ 0, окончательный вывод о геометрической неизменяемости сделать нельзя (это обязательное, но недостаточное условие). Система мо- жет содержать достаточное количество связей для того, чтобы являться геометрически неизменяемой, но расположение этих связей может не обеспечивать условие геометрической неизменяемости. Например, для балки, показанной на рис. 1.3, б, число степеней свободы, вычисленное по выражению (1.1), равно нулю. Однако эта балка является геометрически изменяемой и имеет одну степень свободы, т. к. все ее опорные связи па- раллельны. Здесь нет необходимой связи, препятствующей горизонтально- му перемещению.

Приведем возможные выводы, которые можно сделать после опре- деления W:

1. W >0 – система геометрически изменяема. Кинематический ана- лиз системы закончен.

2. W =0 – возможно, что система геометрически неизменяемая (ГН)

и статически определимая (СО).

3. W <0 – возможно, что система геометрически неизменяема (ГН) и статически неопределимая (СН).

В последних двух случаях необходимо продолжить анализ системы, рас- смотрев способы ее образования из простых дисков, которые описаны в разделе 1.9. При этом следует исключить мгновенную изменяемость сис- темы.