Порядок выполнения кинематического анализа

1. Производим подсчет числа степеней свободы по формуле (1.1),

либо (1.2). «Земля» при этом не является диском.

2. Если W>0, система геометрически изменяема (ГН). Кинемати- ческий анализ окончен.

3. Если W<0 , возможно, что система ГН и СН. Для окончатель- ного вывода необходим анализ системы по ее образованию.

4. Если W=0, возможно, что система ГН и СО. Для окончатель- ного вывода необходим анализ системы по ее образованию.

5. Если имеет место п. 3 или п. 4 (W £0), выполняем анализ сис- темы по ее образованию. При этом используем один и тот же подход: разбиваем систему на простые диски шарнирами. «Земля» также при-

нимается за диск и включается в анализ. Затем, используя стандартные случаи соединения дисков, укрупняем диски до тех пор, пока не уста- новим, что система в целом является диском (при условии, что она ГН). В результате этого анализа могут иметь место и другие случаи, ко-

гда система мгновенно изменяема либо геометрически изменяема.

Классификация некоторых статически определимых систем по их образованию

А. Системы балочного типа. Это системы, представляющие со- бой один диск, присоединенный к «земле» тремя опорными связями. Опорные связи не должны быть параллельными и не должны пересе- каться в одной точке. Действие вертикальной нагрузки на такие систе- мы вызывает в них только вертикальные опорные реакции. Примеры систем балочного типа показаны на рис. 1.20.

Б. Составные системы. Представляют собой два либо более дисков, связанных шарнирно. При этом можно выделить главный диск

– он имеет три связи с «землей». Диски, присоединенные к нему шар- нирами и имеющие одну опорную связь с «землей», называются второ- степенными. Ось опорной связи при этом не должна пересекать шар- нир (случай МИ-системы). Второстепенный диск может быть удален без нарушения геометрической неизменяемости системы (рис. 1.23).

В. Трехшарнирные системы. Состоят из двух дисков, связанных шарнирно. Каждый диск при этом равноценен и присоединен к «земле» шарниром (рис. 1.26). В таких системах при действии вертикальной на- грузки возникают наклонные реакции, горизонтальная составляющая которых называется распором.

Г. Комбинированные системы. Это сложные системы, представ- ляющие собой комбинацию элементов разного вида.

Примеры кинематического анализа плоских стержневых систем

А. Системы балочного типа

а)                                                                     б)

в)

Рис. 1.20

Пример 1.1. Выполним кинематический анализ балки и рамы, изображен- ных на рис. 1.20, а, б.

1. Подсчитываем число степеней свободы по формуле (1.1). При этом число дисков Д =1; шарниров нет; количество опорных связей С ₀ =3. Подставив в формулу (1.1), получим: W =3·1–3=0. Отсюда вы- вод: возможно, что система СО и ГН.

 

 

Рис. 1.21

2. Анализ по образованию.

«Земля» здесь также является дис- ком. Необходимо доказать, что диск самой конструкции (Диск 1) и «зем- ля» (Диск 2) соединены опорными связями в ГН-систему (рис. 1.21).

Каждый элемент опоры можно считать связью 1-го вида. Тогда мы прихо- дим к стандартному случаю соединения двух дисков в ГН-систему: диски связаны при помощи трех стержней, не пересекающихся в одной точке и не параллельных между собой.

3. Делаем окончательный вывод: система ГН и СО.

Пример 1.2. Выполним кинематический анализ фермы (рис. 1.20, в):

1. Подсчитываем число степеней свободы по формуле (1.2). Здесь количество стержней С = 25 ; узлов У = 14; связей С ₀ = 3 .

Подставляя в формулу, получим: W= 2·14–25–3= 0 .

Вывод: возможно система ГН и СО.

2. Кинематический анализ фермы по ее образованию. Сначала не- обходимо доказать, что сама ферма является диском. А затем рассмотреть, как этот диск соединяется с «землей» (рис. 1.22). Здесь каждый элемент (стержень) фермы является диском. Анализ удобнее производить по сле- дующей схеме: принимаем любой стержень фермы за базовый диск (на- пример, левая стойка – диск 1). Далее считаем, что к этому диску присое- динена диада (стержни, помеченные штрихом), следовательно, образовал- ся новый диск из трех стержней. К этому диску присоединяется новая диа- да (стержни, помеченные двумя штрихами) – образуется новый диск из пя- ти стержней и т. д. Для левой полуфермы диады обозначены соответст- вующими значками. Таким образом, анализ по образованию фермы можно сформулировать так: ферма образована последовательным присоединени- ем диад к диску 1, следовательно, она ГН и представляет собой диск.

Этот диск связан с «землей» тремя

Диск 1

 

  Диск земля    

 

Рис. 1.22

связями, не пересекающимися в од- ной точке и не параллельными меж- ду собой.

3. Делаем окончательный вы- вод: система ГН и СО.

Подчеркнем общие положения, связанные с кинематическим анали- зом систем балочного типа. Если доказано, что сама система является дис- ком, она должна иметь как минимум три связи с «землей». Эти связи не должны быть параллельны друг другу и не должны пересекаться в одной точке.

Б. Составные системы

Примеры составных систем показаны на рис. 1.23.

a) б) Главный

Второстеп.

Главный диск

Второстеп. диск

Диск

Диск

в)  Главный диск

Второстеп. диск

Рис. 1.23

Это могут быть составные балки, рамы, фермы, арки. Все системы, показанные на рис. 1.24, образованы по одному принципу. Главный диск связан с «землей» тремя связями. Второстепенный диск присоединен к главному при помощи шарнира (рис. 1.24, а), либо при помощи двух стержней (рис. 1.24, б). Он обязательно имеет одну связь с «землей». На рис. 1.24 схематично показаны системы, имеющие один или несколько второстепенных дисков, присоединенных последовательно один через дру- гой (рис. 1.24, в), либо только к главному диску (рис. 1.24, г).

 

а)

г)

Рис. 1.24

Число степеней свободы W для всех схем, показанных на рис. 1.23, 1.24, равно нулю. Например, для системы, показанной на рис. 1.24, г, число

дисков Д = 3, число шарниров Ш = 2, число опорных связей С ₀ = 5. То-

гда получаем W =3·3–2·2–5=0.

Аналогично можно подсчитать W для всех остальных схем.

Кинематический анализ по образованию таких систем выполняется по следующей схеме:

1. Сначала доказывается, что главный диск и «земля» образуют об- щий диск (они связаны тремя связями).

2. Второстепенный диск присоединяется к этому вновь образован- ному диску при помощи шарнира и стержня (либо при помощи трех стержней). Если имеется несколько второстепенных частей, рассматрива- ется присоединение каждой второстепенной части по той же схеме.

Вывод: Система в целом является диском.

Подчеркнем общие положения, связанные с кинематическим анали- зом составных систем. Главный диск должен иметь три связи с «землей» (не параллельные друг другу и пересекающиеся в одной точке). Если вто- ростепенный диск связан с главным шарниром, то ось стержня, соеди- няющего второстепенный диск с «землей» не должна пересекать этот шарнир. В противном случае система мгновенно изменяема (рис. 1.25, а).

б)                                     Второстеп.

Главный диск

Диск

Рис. 1.25. Примеры мгновенно изменяемых систем

Если второстепенный диск связан с главным двумя стержнями, то оси этих стержней, и ось опорного стержня, соединяющего второсте- пенный диск с «землей», не должны пересекаться в одной точке. В про- тивном случае система мгновенно изменяема (рис. 1.25, б).

В. Трехшарнирные системы

Примеры трехшарнирных систем показаны на рис. 1.26.

 

Рис. 1.26

Трехшарнирные системы состоят из двух дисков, которые связаны шарниром. К «земле» каждый диск присоединяется шарнирно неподвижной опорой.

                       

Рис. 1.27

Схематично такая система показана на рис. 1.27, а. Вместо шарнира соединение дисков может производиться двумя стержнями (рис. 1.27, б).

Кинематический анализ систем, где диски связаны шарниром (рис.

1.27 , а). производится следующим образом.

1. Определяется число степеней свободы по формуле (1.1). Здесь число дисков Д =2, число шарниров Ш =1 , опорных связей С ₀ =4. Под- ставив в формулу, получим: W=3·2– 2 ·1 –4 =0 .

Вывод: возможно, что система СО и ГН.

2. Анализ по образованию:

Рис. 1.28

Включаем «землю» как дополнитель- ный диск (рис. 1.28). Опоры А и В мож- но показать в виде шарниров, присое- диненных к «земле». Тогда мы получа- ем 3 диска, связанных при помощи трех шарниров (А, В, С). Система в целом является СО и ГН. При этом опорные шарниры А, В и шарнир С не должны лежать на одной прямой.

Трехшарнирные системы с затяжкой

В этом случае одна опора становится шарнирно-подвижной. Недос- тающая связь устанавливается как внутренняя и соединяет диски. Приме- ры трехшарнирных систем с затяжкой показаны на рис.1.29

 

Рис. 1.29

Кинематический анализ производится по следующей схеме.

1. Определяем число степеней свободы (1.1). Число дисков Д =3, число шарниров Ш =3, число опорных связей С ₀ =3 . Подставив в фор- мулу, получим: W= 3·3–2·3–3 =0.

Вывод: возможно, что система СО и ГН.

2. Анализ по образованию системы:

Включаем «землю» как диск (рис. 1.30). Диск 1 и диск 2 связаны шарниром С и стержнем А-В (ось стержня не пересе- кает шарнир). Следовательно, они обра- зуют общий диск. Этот диск связан с

«землей» тремя связями, которые не пе- ресекаются в одной точке и не парал- лельны друг другу.

Рис. 1.30

Вывод: система СО и ГН.

 

Пример 1.3. Дана составная балка, показанная на рис. 1.31. Требуется вы- полнить ее кинематический анализ.

 

A         B         C                          D                                           E          F

Рис. 1.31

Порядок выполнения

1. Подсчитываем число степеней свободы по выражению (1.1). Чис- ло дисков Д =5; число шарниров Ш =4; число опорных связей С ₀ =7.

Тогда W =3·5–2·4–7=0.

Отсюда вывод: возможно, что система СО и ГН.

2. Выполняем анализ балки по ее образованию. При этом «землю»

принимаем за дополнительный диск (рис. 1.32).

 

Д1

A     B     C

Ш1     D

G

Д2

E

H K                      F

ск Земля

Ди   Земля

Рис. 1.32

Обозначим диски, на которые делится балка (A-B, C-D, D-E, E-F). Соединения этих дисков должны быть четко выделены: это опорные связи G,H,K,F и шарнир D. Диск B-C можно принять за связь 1-го вида, так как он шарнирно присоединен к дискам A-B и C-D и не связан с «землей».

Начнем с того, что диск А-В и диск «земля» связаны жестко, следо- вательно, образуют один общий диск. Обозначим его Д1 и обведем пунк- тиром.

Далее рассмотрим соединения трех дисков: Д1, C-D и D-E. Диски C-D и D-E соединены шарниром D, диски Д1 и C-D – двумя стержнями (B-C и G), и наконец, диски D-E и «земля» соединены двумя стержнями H и K. В целом получается соединение трех дисков при помощи шарнира и четырех стержней. Такой стандартный способ соединения трех дисков су- ществует. Однако необходимо доказать, что система не является мгновенно изменяемой. Для этого определим положение эквивалентных шарниров, которые находятся на пересечении стержней. Это шарнир Ш1 (на пересе- чении стержней B-C и G) и шарнир, положение которого уходит в беско- нечность, т. к. стержни H и K параллельны. Шарниры, соединяющие диски Д1, C-D и D-E, не лежат на одной прямой. Таким образом, мы доказали, что эти 3 диска образуют общий диск. Обозначим его Д2 и обведем точеч- ной линией.

Диск Д2 связан c диском E-F шарниром E и стержнем F (стержень не пересекает шарнир). Таким образом, они образуют общий диск.

3. Окончательный вывод: система в целом является диском, следова- тельно, она геометрически неизменяема. При этом она статически опреде- лима, т. к. W =0 (см. п. 1).

Вопросы и задачи для закрепления темы

1. Какие системы называются геометрически неизменяемыми? Приведите пример.

2. Запишите порядок кинематического анализа плоских стержневых систем? Дайте количественную оценку геометрической неизменяемости системы.

3. Покажите на примерах простейшие способы образования гео- метрически неизменяемых стержневых систем, состоящих из двух дис- ков. То же для систем, состоящих из трех дисков.

4. Какие системы называются мгновенно изменяемыми? Приве- дите пример.

5. Покажите пример системы близкой к мгновенно изменяемой.

6. Перечислите основные типы опорных устройств, имеющихся в раме на рис. 1.34, дайте их статические и кинематические характери- стики.

7. Подсчитайте число степеней сво- боды рамы, показанной на рис. 1.33, и вы- явите ее кинематический статус.

8. Выполните анализ этой рамы по

ее образованию.                                                         Рис. 1.33

9. Сколько связей нужно удалить в раме (рис. 1.34), чтобы она стала статиче- ски определимой? Приведите пример та- кой статически определимой рамы.

Рис. 1.34

10. Определите число степеней свободы фермы, изображенной на рис. 1.35, и сделайте вывод о ее кинематиче- ском статусе.

 

11.Сколько шарниров нужно добавить, чтобы балка, показанная на рис. 1.36, стала статически определимой?

Покажите пример такой балки.

 

Рис. 1.35

Рис. 1.36