Классы эквивалентности
Определение 1. Пусть - отношение эквивалентности на множестве A . Классом эквивалентности элемента a ÎA называется множество, обозначаемое и состоящее из всех элементов b ÎA таких, что b a (или (a , b) Î ). Любой элемент b класса эквивалентности называется представителем этого класса. По определению ={ b ÎA| b a} Í A. Примеры. 1. Для отношения параллельности прямых плоскости класс эквивалентности прямой a есть множество всех прямых данной плоскости, параллельных прямой a: ={bÎA| b|| a}. Это множество называется пучком параллельных прямых плоскости. 2. Для отношения сравнимости действительных чисел по модулю m (см. пример 1) класс эквивалентности числа a Î R есть множество всех чисел b Î R, сравнимых с a по модулю m: ={b Î R| b º a (mod m)} = {b Î R| b = a + k × m , где k Î Z}. 3. Для отношения подобия треугольников каждый класс эквивалентности состоит из всех треугольников, подобных данному. 4. Отношения эквивалентности из примера 3.4 имеет три различных класса эквивалентности (см. также рис. 6): Теорема 1. Если класс эквивалентности элемента a , то aÎ (следовательно, каждый класс эквивалентности не пуст). Доказательство. Пусть - отношение эквивалентности на множестве A. Тогда по определению 11.4. a a для любого a ÎA. Следовательно, по определению класса эквивалентности a Î и ¹Æ. Теорема 2. Два класса эквивалентности и по отношению эквивалентности равны тогда и только тогда, когда a b . Доказательство. Необходимость. Пусть = . По теореме 9.1 a Î . Тогда по определению равных множеств a Î и по определению класса эквивалентности a b. Достаточность. Пусть a b. Докажем, что = . 1) Если x Î , то по определению класса эквивалентности x a. Так как по условию a b, то в силу транзитивности x b. Тогда по определению класса эквивалентности x Î . 2) Обратно, если xÎ , то x b по определению класса эквивалентности. Из условия в силу симметричности, имеем b a. Так как x b и b a, то по транзитивности x a. Отсюда, по определению класса эквивалентности x Î . Из 1) и 2) по определению равных множеств, получаем = . Теорема 3. Любые два класса эквивалентности и по одному и тому же отношению эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают. Доказательство. Для классов и имеет место один и только один из случаев: либо Ç = Æ, либо Ç ¹ Æ. Первый случай удовлетворяет заключению теоремы. Во втором случае существует такой элемент c, что cÎ и cÎ . Отсюда, по определению класса эквивалентности, с a и c b . Так как отношение симметрично, то из с a следует, что a c. В силу транзитивности из a c и c b следует a b. Но тогда по теореме 2 = . Упражнения: 1. Показать, что для m ÎN отношение сравнимости по модулю m на множестве Z (пример 3.2, 3.2) имеет m классов эквивалентности.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (432)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |