Виды отображений. Обратное отображение

2

44

3

5

6

b

c

a

X

Y

f

Рис. 6

y

x

-1

1

0

Рис. 7

1

X=R, Y=R, y = x3

Определение 1. Отображение f множества X в Y называется отображением множества X на Y, или сюръективным, или сюръекцией, если для любого yÎ Y найдется такой элемент xÎ X, что f(x) =y .

Таким образом, f: X®Y сюръекция тогда и только тогда, когда E(f) = Y .

Например, отображение f: R®[0, +¥), f: xax², является сюръекцией, см. также рис. 6, 7  . Отметим, что отображения на рис 2, 3 не являются таковыми.

Определение 2. Отображение f множества X в Y называется взаимно однозначным отображением множества X в Y , или инъективным, или инъекцией, или вложением, если для любых x₁, x₂ Î X  из x₁ ¹ x₂ следует, что f(x₁)  ¹ f(x₂).

f

1

44

b

5

6

c

e

a

X

Y

Рис. 9

a

44

c

5

6

d

e

b

X

Y

Рис. 8

f

Например, отображение f: R\{0}®R, f: xa1/x, является инъекцией, см. также рис. 7, 8, 9. Отметим, что отображения на рис.2,3 , 6 не являются таковыми.

Определение 3. Отображение f множества X в Y называется  взаимно однозначным отображением множества X на Y , или биективным, или биекцией, если оно одновременно сюръективно и инъективно.

Иными словами биективное отображение взаимно однозначно и является отображением X на Y. Взаимно однозначное отображение множества X на Y обозначается также символом f: X«Y .

В геометрии взаимно однозначные отображения множества X на себя называются преобразованиями множества. В математическом анализе взаимно однозначные отображения множества X на Y называются взаимно однозначными соответствиями между X и Y.

Например, отображение f: (0,+¥)®R, f: xalg x, является биекцией, см. также рис. 7., 9. Отметим, что отображения на рис 1., 1., 6., 8 не являются таковыми.

Теорема 1. 1. Композиция  двух сюръекций f и g есть сюръекция.

2. Композиция  двух инъекций f и g - инъекция.

3. Композиция  двух биекций f и g - биекция.

Доказательство. Композиция двух отображений f: X®Y , g: Y®W есть отображение X®W. Если f и g сюръекции, то f(X) = Y , g(Y) = W. Поэтому  и - сюръекция.

Пусть x₁, x₂ Î X и x₁ ¹ x₂. Пусть f и g инъекции. Тогда f(x₁)  ¹ f(x₂). Отсюда  и - инъекция.

Третье утверждение теоремы следует из первых двух по определению 3.

 

 8. Обратное отображение

Определение 1. Отображение f: X®Y называется  обратимым, если обратное для его бинарное отношение f ^-1 является отображением множества Y в X. Тогда обратное бинарное отношение f ^-1 называется обратным отображением для отображения f и обозначается тем же символом f ^-1.

f

1

44

b

5

6

c

e

a

X

Y

Рис. 10

a

14

c

3

2

4

e

b

X

Y

f -1

Например, для отображения f: (0,+¥)®R, f: xalg x, обратное отображение f ^-1: R®(0, +¥), f ^-1: xa10^x. Отображения на рис. 7. и 9 обратимы (см. также рис. 10).

Отметим, что не каждое отображение обратимо. Например, отображения представленные на рис. 6., 8 не обратимы.

Теорема 1.  Пусть отображение f: X®Y - обратимо, f ^-1 – обратное отображение. Тогда y = f(x) тогда и только тогда, когда x = f ^-1(y) для любых xÎ X и yÎ Y .

Доказательство. По определению обратного бинарного отношения (x, y) Î f тогда и только тогда, когда (y, x) Î f ^-1 . В силу обозначений из этого следует утверждение теоремы.

Теорема 2.  Пусть отображение f: X®Y - обратимо. Тогда .

Доказательство. Следует из определений 5, 6 и теоремы 2.

Теорема 3. Отображение f: X®Y - обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно.

Доказательство. (Þ) Пусть отображение f: X®Y обратимо и f ^-1: Y®X обратное ему отображение. По определению отображения для любого y Î Y  существует единственный элемент xÎ X такой, что x = f ^-1(y) и по теореме 2 y = f(x). По определению 2.1 f - сюръекция.

Доказывая, что f биекция предположим противное. Пусть найдутся такие два элемента x₁, x₂ Î X , x₁ ¹ x₂ , что f(x₁) = f(x₂), y₁= f(x₁), y₂= f(x₂). Тогда y₁ = y₂ и по теореме 2 x₁= f ^-1(y₁) = f ^-1(y₂) = x₂, а это противоречит предположению.

(Ü) Пусть отображение f: X®Y - биективно, f ^-1 - обратное бинарное отношение для f. По определению 2.1 для каждого y Î Y существует такой элемент xÎX, что y = f(x), т.е. такой, что (y, x)Îf ^-1. Покажем, что такой элемент xÎ X единственный. Действительно, допустим, что существуют два такие элемента x₁, x₂ Î X , x₁ ¹ x₂ , (y, x₁)Îf ^-1, (y, x₂)Îf ^-1. Тогда по определению обратного бинарного отношения (x₁, y)Îf , (x₂, y)Îf и f(x₁) = y = f(x₂), а это противоречит тому, что f - биективно.

Если f ^-1: Y ® X обратное отображение для отображения f: X®Y, то область определения Y отображения f ^-1 равна множеству значений отображения f, D(f ^-1) = E(f), и наоборот E(f ^-1) = D(f). Если области определений отображений f и f ^-1 изображаются на оси Ox, то графики этих отображений симметричны относительно биссектрисы первого и второго координатных углов, т.е. относительно прямой y==x .

Например, для функции sin: [-p/2,p/2]®[-1,1] обратной является функция arcsin: [-1,1]® [-p/2,p/2]. По теореме 3 для любых xÎ[-p/2,p/2]и yÎ[-1,1] справедливы тождества arcsin(sin x) = x и sin(arcsin y) = y.

Упражнения: 1. Даны функции cos x, tg x, ctg x, x², log₂ x . Какие из этих функций являются отображениями R в R , сюръекциями, инъекциями, биекциями? 

Сузить их области отправления и прибытия так, чтобы они стали обратимыми, найти обратные функции и построить их графики.

y

x

-1

1

-1

0

Рис. 11

1

-p/2

p/2

y = sin x

y = arcsin x

-p/2

p/2

В каждом случае написать тождества теоремы 3.4.

3.2. Доказать теорему 3.3.

3.3. Доказать, что графики функций y = f(x) и y = f^-1(x) симметричны относительно прямой y = x.