Определение 1. Бинарным отношением f между множествами X и Y называется отображением множества X в множество Y, если для любого элемента xÎX существует один и только один элемент yÎY такой, что (x , y)Îf .
Отображение f множества X в Y называется также функцией, определенной на множестве X со значениями в множестве Y .
Символически отображение f множества X в Y записывается в виде: f: X ® Y. То, что (x , y)Îf, записывается также в виде y = f(x) или f: x a y.
При этом область определения D(f) бинарного отношения f совпадает с X и называется областью определенияотображения или функции f, область значений E(f) называется множеством значений отображения или функции f. Если (x , y)Îf , то элемент y называется образом элемента x при отображении f и обозначается символом y = f(x), а элемент x - прообразом элемента y. Также при этом говорят, что элемент x есть аргумент или более точно, значение аргумента, а f(x) - значение функции в точке x. Множество X называется также областью отправления, Y - областью прибытия отображения f.
Иногда отображением f множества X в Y называется правило, которое каждому элементу xÎX ставит в соответствие единственный элемент yÎY , обозначаемый f(x).
Отображения задаются теми же способами, что и бинарные отношения. На рис. 2 и 3 представлены отображения, заданные стрелками и графически. Отметим, что ни одно из бинарных отношений изображенных на рис. 1. не является отображением.
Стрелочное изображение отображения f: X ® Y имеет следующие особенности:
1) из каждой "точки" множества X выходит только одна стрелка;
2) две стрелки не могут иметь общее начало.
Если X, YÍ R, то функция называется числовой функцией. Отметим, что множество G точек плоскости xOy является графиком некоторой числовой функции тогда и только тогда, когда каждая прямая параллельная оси Oy пересекает G не более чем в одной точке.
Определение 2. Образом множества A Í X при отображении f: X ® Y называется множество f (A) = {f(x)| xÎ A }.
Например, на рис. 1. f ({2, 4}) = {b}.
Отметим, что f (X) = E(f).
Определение 3. Прообразом или полным прообразом множества BÍ X при отображении f: X ® Y называется множество f -1(A) = {xÎ X | f(x)ÎB }.
Например, на рис. 1. f -1({b}) = {2, 4, 5}.
Определение 4. Два отображения f1: X1 ® Y1, f2: X2 ® Y2 называются равными, обозначается f1 = f2, если
1) X1= X2,
2) для любого xÎ X1 имеем f1(x) = f2(x).
Определение 5. Композицией двух отображений f: X®Y , g: Y®W называется отображение 
: X®W определяемое для любого xÎ X формулой: 
Если f и g числовые функции, то называют также сложной функцией.
Приведенная на рис. 5. треугольная диаграмма наглядно иллюстрирует то, что при выполнении отображения сначала выполняется отображение f , а затем - отображение g .
Например, если
f и
g отображения
R в
R, определенные формулами
f:
xa
x2,
g:
xa
x+1, то
:
x a
x2+1,
:
x a(
x+1)
2.
Теорема 1. Операция композиции обладает свойством ассоциативности, т.е. 
для любых трех отображений f: X®Y , g: Y®W , h: W®Z .
Доказательство. Так как для любого элемента xÎ X имеем
то по определению 4 утверждение теоремы справедливо.
Определение 1.6. Отображение eX: X®X называется единичным или тождественным отображением, если eX(x) =x для любого xÎ X .
Теорема 2. Для любого отображения f: X®Y 
.
Доказательство. ТУ 1.2.
Определение 7. Отображение f: X1®Y называется сужением или ограничением отображения g: X2®Y на X1, если
1) X1Í X2,
2) для любого xÎ X1 имеем f(x) = g(x).
В этом случае пишут f= g½A, а также говорят, что g продолжение или расширение отображения f.
Упражнения: 1. Привести примеры бинарных отношений между множествами A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4}, которые являются отображениями.
2. Доказать теорему 2.
3. Привести примеры отображений множества R в R и построить их графики. Найти композиции всевозможных пар отображений.
2019-10-11
400
Обсуждений (0)
