Уравнения метода конечных элементов.
Задачи теории поля Задачи теории поля описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Дифференциальное уравнение для каждого из таких физических процессов представляется квазистационарным уравнением [33] в декартовой системе координат (1.7) с граничными условиями на и (или) (1.8) на . Объединение и образует полную границу модели. Коэффициенты и , а также величина q могут быть функциями x, y и z, но предполагаются независимыми от . Величины lx, ly и lz в формуле (1.8) - направляющие косинусы вектора нормали к поверхности модели. Уравнение (1.7) применимо как к изотропным, так и к анизотропным телам. Координатные оси, однако, должны быть параллельны главным осям инерции в анизотропных областях. Уравнение для одномерного и двумерного случаев может быть получено из формулы (1.7) с учетом того, что и (или) . Если на той части границы, где не определено (на ), обе величины q и h равны нулю, равенство (1.8) сводится к следующему условию: . Важной двумерной задачей является задача о безвихревом течении жидкости. В этом случае и уравнение (1.7) сводится к уравнению: (1.9) с граничными условиями и . Если полевая функция задана на непроницаемых границах области (на границах, по нормали к которым не происходит течения жидкости), то уравнение (1.9) определяет линии тока при безвихревом течении жидкости. С другой стороны, если полевая функция определена на тех частях границы, по нормали к которым течет жидкость, то уравнение (1.9) описывает эквипотенциальные линии, которые ортогональны линиям тока. Дифференциальное уравнение для ограниченного потока грунтовых вод также содержится в уравнении (1.7). В этом случае , а граничные условия имеют вид и (или) . Коэффициенты и определяют проницаемость почвы, Q-источник (или сток) воды, а полевая функция - пьезометрический напор. Величина q соответствует просачиванию воды через водоносный слой вдоль части его границы. Другие важные физические задачи, которые описываются уравнением (1.7), связаны с рассмотрением электростатического и магнитостатического полей. С вариационной точки зрения решение уравнения (1.7) с граничными условиями (1.8) эквивалентно нахождению минимума функционала [33]:
. (1.10) Минимизация функционала (6.10) должна быть осуществлена на множестве узловых значений {Ф} . Введем две матрицы: (1.11) и (1.12) Соотношение (6.10) может быть теперь записано в виде (1.13) Так как функции от не являются непрерывными во всей области, вместо них введем в рассмотрение функции , определенные на отдельных конечных элементах. Интегралы в (6.13) разбиваются на интегралы по отдельным элементам, что дает сумму (1.14) где N - общее число элементов. Последнее соотношение может быть символически записано как , где - вклад отдельного элемента в . Минимизация требует выполнения соотношения . (6.15) Учитывая соотношение (4): , можно вычислить величину (6.11), которая вместе с (1.4) может быть подставлена в (1.14). Запишем выражение для : , (1.16) или , (1.17) где [B] содержит информацию o производных от функций формы. Использование формул (1.4) и (1.17) позволяет записать интегралы по элементам в (1.14) в виде (1.18) Величины Q, q, j¥ и h - известные коэффициенты. Они внесены под знак интеграла, потому что могут изменяться внутри элемента. Дифференцирование (1.18) по {Ф} представляет собой простую операцию, если пользоваться правилами дифференцирования, приведенными в [33], и ее составляющие примут вид
Вклад отдельного элемента в общую сумму в равен
Эта совокупность интегралов может быть записана в компактной форме: (1.19) где
и
Окончательная система уравнений получается после подстановки выражения (1.19) в (1.15): (1.20) или
где , . Затем из матриц элементов (1.20) составляется глобальная матрица относительно узлов элементов расчетной сети суммированием соответствующих матриц элементов, тем самым формируется глобальная система линейных алгебраических уравнений [ U ]{Ф} = {F}, (1.21) где [U] - ленточная матрица коэффициентов ums и m = 1, ..., q; s = 1, ..., q; q – число узлов триангуляционной (расчетной)сети; {Ф} - матрица-столбец узловых значений искомой функции Фm (векторного магнитного потенциала Аm), которые и подлежат определению; {F} - матрица-столбец свободных составляющих глобальной СЛАУ. Решается система уравнений (1.21) прямым или итерационным методом.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (208)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |