Решение краевой задачи для стационарного магнитного поля в цилиндрической системе координат

 

Краевая задача сводится к нахождению распределения квазистатического магнитного поля по области моделирования S. Система уравнений магнитного поля в магнитной системе, где наряду с постоянными магнитами присутствуют токи проводимости, имеет вид:

                                                                           (1.22)

где - плотность тока проводимости; - абсолютная магнитная проницаемость; ,  - соответственно векторы магнитной индукции и напряженности магнитного поля;  - вектор остаточной намагниченности.

  Введем в рассмотрение векторный магнитный потенциал , удовлетворяющий уравнениям

                                                ,                                               (1.23)                                  ,

тогда согласно (1.22) можно записать:

                                                (1.24)  

Поверхностные токи намагниченности определяют скачкообразное изменение тангенциальных составляющих напряженности магнитного поля на границе постоянного магнита и воздущной окружающей среды. Средняя плотность поверхностных токов намагниченности записывается в виде:              

                             ,                                     (1.25)

где  - нормаль (единичный вектор) к границе раздела двух сред с различными магнитными свойствами;  - соответственно векторы намагниченности сред.

    Для воздушной окружающей среды вектор намагниченности , поэтому справедливо выражение

                                   .                        (1.26)

Среднюю плотность поверхностных токов намагниченности можно также записать через вектор остаточной намагниченности . По аналогии с записью выражения объемной плотности тока намагничивания

                                                                                              (1.27)

плотность поверхностного тока намагничивания  будет

                                                 .                                           (1.28)

Для магнитных систем с высокоэнергетическими постоянными магнитами, имеющими осевую симметрию, плотность поверхностного тока намагничивания  имеет одну составляющую. При радиальном направлении намагничивания постоянного магнита плотность поверхностного тока  в цилиндрической системе координат направлена вдоль угла . При совпадении вектора намагниченности  с осью r выражение (1.28) можно преобразовать к виду:

                                                                           (1.29)     

 Также одну составляющую будут иметь вектор плотности электрического тока  и векторный магнитный потенциал .

  С учетом принятых допущений уравнение (1.29) в цилиндрической системе координат примет вид:

.                (1.30)

В осесимметричном поле легко перейти от векторного магнитного потенциала поля  к функции магнитного потока, которую можно трактовать как магнитный поток сквозь сектор, центральный угол которого равен единице:

                                 .                           (1.31)

Условие  определяет уравнение силовой линии осесимметричного поля, при этом составляющие вектора магнитной индукции в любой точке силовой линии определяются выражениями

       .         (1.32)

Уравнение Пуассона в кусочно-однородной области S c учетом (1.33) имеет вид:

                                .          (1.33)

Рассмотрим магнитную систему линейного магнитоэлектрического двигателя, представленного на рис. 1.3. На рисунке обозначен: внешний магнитопровод - 1, внутренний магнитопровод - 2, постоянные магниты на основе сплава РЗМ - 3, внутренняя пара обмоток - 4; внешняя пара обмоток - 5.  На внешней кусочно-гладкой границе М кусочно-однородной расчетной области S зададим нулевые граничные условия: вследствие осевой симметрии магнитного поля на оси модели функция магнитного потока  на внешней границе магнитопровода также выполняется условие  Расчету указанной магнитной системы посвящены 4 и 5 главы данного учебного пособия.

Для рассматриваемого типа привода разобьем моделируемую область S на восемнадцать кусочно-однородных зон, две из которых приходятся на системы разнополярных сегментных постоянных магнитов (якорь); двенадцать зон соответственно - на магнитопровод; четыре зоны – на обмотки с током.

Для каждой из этих зон можно записать уравнение Лапласа -Пуассона.

В зоне магнитопровода уравнение (1.33) имеет вид:

                ,                              (1.34)     

где  - магнитная проницаемость стального сердечника.

В зоне обмоток с током поверхностная плотность тока намагниченности постоянного магнита  и магнитная проницаемость среды , поэтому уравнение Пуассона будет

                ,                            (1.35)

где ; намагничивающая сила обмотки на пару полюсов; - суммарная площадь внутренней и внешней обмоток на пару полюсов.

В зонах постоянного магнита и окружающей воздушной среды уравнение (1.35) принимает вид:

                               ,               (1.36)   

причем средняя поверхностная плотность тока намагниченности   только на границе постоянного магнита, в других точках . Для магнитов из РЗМ обычно принимают  Уравнения (1.34) – (1.36) дополняются внешними нулевыми граничными условиями (на границе М функция магнитного потока ) и условиями сопряжения на внутренних границах расчетной области S. Наличие поверхностного тока намагниченности на границе зон постоянного магнита и среды с магнитной проницаемостью  (окружающая воздушная среда и обмотки) учитывается скачком тангенциальных составляющих напряжен-ности магнитного поля  на границе раздела сред:

                       ,                                (1.37)

По методу Галеркина преобразуем уравнение (6.32) к виду:

.  (1.38)

Выражение, стоящее под знаком первого интеграла уравнения (1.38) можно упростить, если воспользоваться соотношениями:

 

        ,        (1.39)

       .           (1.40)

Тогда получим:

 

(1.41)

 

По теореме Остроградского – Гаусса первый интеграл уравнения (1.42) пред-ставим в виде:

  

(1.43)  

                                     

где n – внешняя нормаль к поверхности, ограничивающей объем V; проекции вектора F на оси r и z

 

;   .       

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

С учетом выражения (1.43) уравнение (1.42) будет

 

           (1.44)

Величина первого интеграла уравнения (1.44) определяется граничными условиями. На внешней границе М моделируемой области S заданы нулевые краевые условия, поэтому значение интеграла равно нулю. С учетом принятых граничных условиий уравнение (1.44) преобразуется к виду:

(1.45)

 

Представим в соответствии с МКЭ решение для функции магнитного потока аппроксимирующим полиномом

.                              (1.46)

Коэффициенты  в выражении (1.46) определим через координаты вершин треугольного элемента i, j, k, используя матричную форму записи системы уравнений:

.                    (1.47)

Рис. 1.3. Моделируемая область S магнитного поля двигателя.

 

В сокращенной форме записи

, отсюда ;         (1.48)                                          ,

где -площадь треугольного элемента с вершинами в точках . 

Применяя правило вычисления обратной матрицы , получим уравнение (6.48) в развернутом виде:

                   ,                          (1.49)

где коэффициенты матрицы определяются из соотношений

          ; ; ;

         ;      ;       ;

         ;        ;           .

Функция магнитного потока на конечном элементе с учетом выражения (1.49)  может быть представлена следующим образом:

                    ,                     (1.50)

где  - функция формы;

Выражение (1.50) функции формы  на конечном элементе позволяет выполнить операцию интегрирования по треугольнику  в уравнении (1.45). Последовательность действий вычисления интегралов в уравнении (1.45) может быть представлена следующим образом:

              (1.51)

где р – число треугольных конечных элементов, на которые разбита расчетная область ; q – число узлов расчетной триангуляционной сети; m = 1, 2,…,q;

   ;      .                          (1.52)

Подстановка выражений (1.50), (1.52) в уравнение (1.51) позволяет составить систему линейных алгебраических уравнений для определения функции магнитного потока в узлах расчетной триангуляционной сети: 

 

      (1.53)

 

 

После сокращения множителя  в уравнении (1.53) окончательно получим:              

              (1.54)

Использование регулярного элемента на регулярной триангуляционной сети позволяет максимально автоматизировать процесс формирования глобальной системы линейных алгебраических уравнений для определения функции магнитного потока в узлах q сети. Решается система уравнений (1.54) прямым или итерационным методом.

 

2. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕРФЕЙСА ПРОГРАММЫ.
ПАКЕТНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ

 

 Пакет программ ANSYS работает на PC c процессорами Pentium под управлением ОС Windows  XP,  Windiows 7. Минимальными требованиями к аппаратному обеспечению (для РС): Pentium 2.2 ГГц,  2 GВ RAM, 500 МВ свободного пространства на жестком диске, видеокарта 256 МВ.

Данная работа ориентирована на версию пакета 10.0 (Ansys Release 10.0). Запускается он из Windows XP обычным образом (Пуск\Программы\ Ansys  10.0). Для того чтобы задать параметры пакета необходимо воспользоваться окном ANSYS Product Launcher . Здесь в позиции Product selection выбирается конфигурация ANSYS Multiphysics; далее указываются: рабочая директория (Working directory), куда будут записываться рабочие файлы по умолчанию и имя рабочего файла, обычно это – file.

                 Рис. 2.1. Внешний вид программы  Ansys/Multiphysics

После загрузки программы ANSYS\Multiphysics на экране дисплея ПК выводятся следующие объекты интерфейса пакета (рис. 2.1).

1. Меню утилит « ANSYS Utility Menu » (UM) – меню, в котором отражены часто используемые команды (изменение отображения информации в окне графического вывода, команды работы с файлами, вызова справки, команды отображения окон вспомогательных операций и т.д.). Это меню выглядит как обычное меню Microsoft Windows и располагается в верхней части экрана. Команды, описания которых начинаются с аббревиатуры «UM», расположены в меню утилит.

2. Главное меню «ANSYS Main Menu» (MM). В данном меню содержатся часто используемые команды, причем данное меню начинается с описания трех основных процессоров.

Preprocessor – раздел, в котором содержатся команды предназначенные для построения исследуемой модели. К ним, например, относятся команды задания размеров и атрибутов различных областей геометрии, разбивки расчетной модели на конечные элементы и их опций.

Solution – раздел запуска на решение задачи. В него входят команды позволяющие начать расчет модели, а также команды, позволяющие задать ряд опций для процедуры решения.

General Postproc – раздел анализа результатов расчета. В данный раздел входят команды позволяющие пользователю контролировать вывод результатов на экран монитора.

В Главном меню для облегчения понимания смысла команд вводятся иконки со следующими знаками:

а) «...» (знак «многоточие») – выбор пункта меню вызовет появление на экране дополнительного окна диалога, где, например, можно ввести требуемые параметры;

б) «+» (знак «плюс») – выбор пункта повлечёт за собой раскрытие меню следующего уровня с новым набором опций;

в) «­» (знак «стрелка») – указанный пункт меню вызовет появление на экране окна диалога задания параметров графических объектов.

Отсутствие окончания означает, что выбор данного пункта меню повлечёт за собой немедленное исполнение опции (подпрограммы) без вывода каких-либо дополнительных окон диалога.

При работе с опциями меню (UM , MM и т.п.) следует помнить, что при выборе любой из них могут появляться динамические (всплывающие) подменю.

При вызове некоторых опций или команд программы могут появляться окна диалога с запросом на какое-либо действие. Как правило, в данных окнах находятся три кнопки: "OK" - выполнение действия, "Cancel" - отмена выполнения действия, "Help" - помощь; кроме того, в окне могут быть дополнительные кнопки: "Close" - закрытие окна, "Apply" – применить указанное действие.

3. Окно графического вывода «ANSYS Graphics» ( AG ) - данное окно отражает результаты выполненных команд над моделью: построение геометрии, разбивка конечными элементами, расчета решения и отображение результатов расчета;

4. Окно ввода команд с клавиатуры « ANSYS Command Prompt » - в данном окне пользователь может вводить команды вручную в текстовом режиме;

5. Всплывающие окна диалога – окна, в которых пользователь задает параметры объектов модели. Данные окна выводятся на экран монитора при выполнении команд связанных с параметрами ввода-вывода, например, ввод скалярных параметров модели « Scalar Parameters » ( SP );

6. Окна вспомогательных операций - данные окна являются дополнительными и не требуют своего закрытия для дальнейшей работы. Примером может служить окно, позволяющее масштабировать и перемещать модель в окне графического вывода « Pan - Zoom - Rotate » .

 Они не препятствуют работе с другими окнами и не требуют своего закрытия для ввода других команд или выбора пунктов главного и вспомогательного меню. Эти окна могут отображаться при выборе соответствующих команд меню утилит. При перемещении окон по экрану их положение не запоминается автоматически для восстановления при следующем запуске пакета. Сохранить положение основных окон и меню программы можно, выполнив команду:

UM>MenuCtrls>Save Menu Layout.

Примером окна такого типа также может служить окно “ANSYS Toolbar”, содержащее в себе кнопки вызова наиболее часто используемых команд. Примером часто используемых команд могут служить команды SAVE_DB и RESUME_DB, предназначенные соответственно для сохранения базы данных задачи и для загрузки задачи из сохранённой базы данных. Будьте внимательны при работе с данными командами!  Пользователь может сам редактировать содержимое данного окна, добавлять кнопки для вызова нужных ему функций по команде: UM > Macro > Edit Abbreviations. После задания новых команд их нужно сохранить по команде UM > Macro > Save Abbr .

Повторим еще раз. Исследование модели в программе ANSYS/Multiphysycs включает три основных этапа: препроцессирование или подготовка модели ( Preprocessor ), расчет модели ( Solution ) и постпроцессирование или анализ результатов расчета ( General Postproc ).

На этапе подготовки модели ( Preprocessor ) в окне графического вывода формируется геометрия модели (размеры), определяются типы материалов, используемые в модели (например, сталь, воздух и др.), каждой области модели присваиваются атрибуты (например, обмотка с заданным током), указывающие поведение данной области при расчете.

Для выполнения расчетов ( Solution )  задаются такие параметры расчета как тип анализа ( Analysis Type ), задание активных областей модели ( Loads в Preprocessor ), физика окружающей среды ( Physics в Preprocessor ), тип расчета ( Solve ).

После успешного выполнения расчета заключительным этапом является анализ результатов расчета ( General Postproc ). Данное меню позволяет организовать графический и текстовый вывод результатов конечно-элементного анализа модели, например, в окне графического вывода представить информацию о распределении силовых линий магнитного поля модели.

Приведенные выше этапы являются неотъемлемыми принципами  исследования модели в программе    ANSYS/Multiphysycs.

Чтобы выйти из пакета ANSYS, набирается команда UM > File > Exit. Появляется меню Exit from ANSYS. Выберите соответствующий вариант. Подумайте! Если выбираете вариант No save – ничего записано не будет. В процессе работы не забывайте промежуточные варианты записывать!

Существует ещё и так называемый пакетный режим работы программы ANSYS. В этом режиме все действия, начиная от построения модели до нахождения результатов решения и вывода их в текстовой или графической форме в файл, осуществляются автоматически по программе, написанной на языке APDL. В любом режиме работы пакета создаваемое описание задачи записывается программой в файл базы данных задачи, который имеет расширение *.db. Результаты расчётов и промежуточные данные (матрицы системы линейных алгебраических уравнений) записываются в файлы с другими расширениями. Это следует помнить при резервировании результатов работы. В интерактивном режиме все действия по созданию модели записываются в LOG-файл сеанса, а также фиксируются в базе данных задачи в виде программы на языке APDL. LOG-файл сеанса создаётся в рабочем каталоге. В него записываются все команды, поступающие в процессор во время работы с моделью. Этот файл не очищается при загрузке другой задачи. Новые команды записываются в конец файла. Сохранить инструкции по решению текущей задачи в виде текстового файла с расширением *.LGW позволяет команда меню UM > File > Write DB LOG file .