Мера ограниченного замкнутого множества
Пусть F непустое ограниченное замкнутое множество и S наименьший сегмент, содержащий множество F. Как известно, множество CSF открыто и поэтому имеет определенную меру m[CSF]. Это дает возможность установить следующее определение. Определение 1. Мерой непустого ограниченного замкнутого множества F называется число где S=[A, B] есть наименьший сегмент, содержащий множество F. Для пустого замкнутого множества меру определять не нужно, ибо такое множество открыто и мерой его мы уже условились считать число 0. Кроме того, непустое замкнутое ограниченное множество не может оказаться открытым множеством, так что нет надобности ставить вопрос о связи определений меры открытого и замкнутого множества. Рассмотрим некоторые примеры. 1. F=[a, b]. В этом случае, очевидно, S=[a, b] и CsF=0, так, что m [a, b] = b – a, т. е. мера сегмента равна его длине. 2. F есть сумма конечного числа попарно не пересекающихся сегментов Можно считать, что сегменты перенумерованы в порядке возрастания левых концов; тогда, очевидно, (k=1, 2, … n-1), откуда следует, что
Стало быть, т.е. мера суммы конечного числа попарно не пересекающихся сегментов равна сумме длин этих сегментов. 3. Пусть (Канторово совершенное множество). В этом случае и откуда т.е. Канторово совершенное множество имеет меру нуль. Этот факт интересно сопоставить с тем, что мощность множества есть с. Теорема 1. Мера ограниченного замкнутого множества F не отрицательна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если пользоваться обозначениями определения 1, то очевидно Ì (А, В), и по теореме 1, откуда и следует, что Лемма. Пусть F ограниченное замкнутое множество, содержащееся в интервале D , тогда D- [ CDF] Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество CDF – открыто, так что лемма имеет смысл. Пусть D=(A, B), а наименьший сегмент, содержащий множество F, есть S=[a, b] (рис.1.). Тогда легко видеть, что СDF=CDS+CsF.
Рис. 1
Оба слагаемые правой части открыты и взаимно не налегают. Значит, по свойству аддитивности меры (теорема 2) будет m[CDF]=m[CDS]+m[CsF]. Но, очевидно,CDS = (A, a) + (b, B), откуда m[CD] = (a-A) + (B-b), и следовательно, m[CDF]=(B-A)-(b-a)+m[CsF], что и доказывает лемму. Теорема 2. Пусть F 1 и F 2 два ограниченных замкнутых множества. Если F 1 Ì F 2 , то mF 1£ mF 2 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D есть интервал, содержащий множество F2. Тогда легко проверить, что СDF1 É CDF2, и, стало быть, m[CDF1 ] [ CDF2 ], так что дело сводиться к предыдущей лемме. Следствие. Мера ограниченного замкнутого множества F есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в F . Теорема 3. Пусть F замкнутое множество, а G открытое ограниченное множество. Если F Ì G , то mF mG . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D есть интервал, содержащий множество G. Легко видеть, что D= G+CDF, откуда, в силу теоремы 3, получаем, что mD mG + m[CDF], и дело сводится к лемме. Теорема 4. Мера открытого ограниченного множества G есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в G . Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предыдущей теоремы, mG есть точная граница мер замкнутых множеств FÌG, и надо доказать, что меры этих замкнутых множеств могут быть сколь угодно близки к mG. Пусть составляющие интервалы множеств G суть(lk, mk ) (k=1, 2, …), так что mG = (mk - lk). Возьмем произвольное e > 0 и найдем столь большое натуральное n, чтобы оказалось mk - lk)> mG - . Затем для каждого k (k=1, 2, …, n) найдем такой сегмент [ak, bk], чтобы было [ak bk,] Ì (lk, mk), m[ak, bk] > m(lk, mk) - , (для чего достаточно взять такое hk, что 0 < hk < min[ , ] и положить ak = lk+hk, bk =mk - hk). Положим, наконец, F0= k, bk]. Тогда, очевидно, F0 Ì G, F0 замкнуто и mF0= (bk-ak) > (mk-lk) - > mG - e.
Так как e произвольно мало, то теорема доказана. Теорема 5. Мера замкнутого ограниченного множества F есть точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих F . Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и выше, достаточно показать, что можно построить открытое ограниченное множество, содержащее множество F и имеющее меру, сколь угодно близкую к mF. С этой целью возьмем интервал D, содержащий множество F, и рассмотрим открытое множество CDF. Каково бы ни было e>0, мы можем (в силу теоремы 4) найти замкнутое множество Ф такое, что Ф Ì СDF, mФ>m[CDF] - e. Положим G0 = СDФ. Легко видеть, что G0 есть открытое множество, содержащее F. Вместе с тем mG0 = mD - mФ < mD - m[CDF] + e = mF + e Теорема доказана. Теорема 6 . Пусть ограниченное замкнутое множество F есть сумма конечного числа взаимно не пересекающихся замкнутых множеств F = (FkFk’ = 0, k ¹ k’). Тогда
mF =
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, достаточно рассмотреть случай двух слагаемых F = F1+F2 (F1F2=0). Возьмем произвольное e > 0 и подберем два ограниченных открытых множества G1 и G2 так, чтобы оказалось Gi É Fi (i = 1, 2), что возможно в силу предыдущей теоремы. Положим G = G1 + G2. Тогда G есть открытое ограниченное множество, содержащее множество F. Значит, mF £ mG £ mG1 + mG2 < mF1 + mF2 + e. В силу произвольности e, отсюда следует что mF £ mF1 + mF2 (*) С другой стороны, в силу теоремы отделимости, существуют такие открытые множества B1 и B2, что Bi É Fi (i = 1, 2), B1B2 = 0. Отметив это возьмем произвольное e > 0 и найдем такое открытое ограниченное множество G, что G É F, mG < mF + e. Тогда множества B1G и B2G суть открытые ограниченные взаимно не пересекающиеся множества, содержащие, соответственно, множества F1 и F2. Значит, MF1 + mF2 £ m(B1G) + m(B2G) = m [B1G + B2G] (здесь мы воспользовались аддитивностью меры для открытых множеств). Но B1G + B2G Ì G, откуда mF1+mF2 £ mG < mF+e и в силу произвольности e, mF1 + mF2 £ mF. (**) Сопоставляя (*) и (**), получим mF = mF1 + mF2, что и требовалось доказать.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (259)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |