Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества
Определение 1. Внешней мерой m*E ограниченного множества E называется точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих множество E: Очевидно, для всякого ограниченного множества E cуществует внешняя мера, причем 0 £ m*E < +¥. Определение 2. Внутренней мерой m * E ограниченного множества E называется точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в множестве E: m*E= . Очевидно, что всякое ограниченное множество E имеет внутреннюю меру, причем 0 £ m*E < +¥. Теорема 1. Если G есть открытое ограниченное множество, то m*G = m*G = mG. Теорема вытекает из следствия теоремы 1 и теоремы 4. Теорема 2. Если F есть замкнутое ограниченное множество, то m*F = m*F = mF. Теорема вытекает из следствия теоремы 2 и теоремы 5. Теорема 3. Для всякого ограниченного множества Е m*E £ m*E. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Gограниченное открытое множество, содержащее множество Е. Какое бы замкнутое подмножество Fмножества Е ни взять, будет F Ì Gи, в силу теоремы 3, mF £ mG. Отсюда m*E £ mG. Но так как это верно для всякого открытого ограниченного множества G, содержащего Е, то m*E £ m*E,что и требовалось доказать. Теорема 4 . Пусть A и B суть ограниченные множества. Если A Ì В, то m*A £ m*В, m*A £ m*B. Д о к а з а т е л ь с т в о. Оба неравенства доказываются аналогично. Остановимся для примера на первом из них. Пусть S есть множество, состоящее из мер всевозможных замкнутых подмножеств множества А, а Т такое же множество для множества В. Тогда m*A = sup S, m*B = sup T. Пусть F есть замкнутое подмножество А, тогда и подавно F является подмножеством множества В. Отсюда следует, что S Ì T, и теорема вытекает из того известного факта, что точная верхняя граница подмножества какого-либо множества не превосходит точной верхней границы самого этого множества. Теорема 5. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества множеств Е k E= , то m*E£ . Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема тривиальна в случае расходимости ряда . Предположим, что этот ряд сходится. Взяв произвольное e > 0, мы можем найти такие открытые ограниченные множества Gk, что GkÉEk, mGk<m*Ek+ (R=1, 2, 3, …). Назовем через D какой-нибудь интервал, содержащий множество Е. Тогда ЕÌD , откуда, в силу теоремы 3. m*E £ m = m £ , и теорема вытекает из произвольности числа e. Теорема 6. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих множеств Еk Е= (EkEk’=0, k¹k’), то m*E³ *Ek. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим первые n множеств Е1, Е2,... …, Еn. Для любого e > 0 существуют такие замкнутые множества Fk, что FkÌEk, mFk>m*Ek- (k=1, 2, …, n). Множества Fk попарно не пересекаются и сумма их замкнута. Отсюда, применяя теорему 6, получим m*E ³ m = mFk > m*Ek - e. Так как e > 0 произвольно, то m*Ek £ m*E. Этим теорема доказана для случая конечного числа слагаемых множеств. Если же этих множеств имеется счетное множество, то, опираясь на произвольность числа n, мы установим сходимость ряда m*Ek и неравенство m*Ek £ m*E. Легко видеть, что теорема перестает быть справедливой, если отбросить условие отсутствия общих точек у множеств Ek. Например, если Е1=[0, 1], Е2=[0, 1] Е=Е1+Е2, то m*E=1, m*E1+m*E2=2. Теорема 7 . Пусть Е ограниченное множество. Если D интервал, содержаций это множество, то m*E+m*[CDE]=mD. Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольное e>0 и найдем такое замкнутое множество F, что FÌCDЕ, mF>m*[CDE]- e. Если мы положим G=CDF, то множество G будет открытым ограниченным множеством, содержащим множество Е, откуда, с помощью леммы находим m*E £ mG = mD - mF < mD - m*[CDE] + e. Отсюда, в силу произвольности e, следует, что m*E + m*[CDE] £ mD. Для того чтобы получить обратное неравенство m*E + m*[CDE] ³ mD, (*) приходится рассуждать тоньше. Возьмем e>0 и найдем такое открытое ограниченное множество G0, что G0 É Е, mG0 < m*E + . Назовем концы интервала D через A и B и построим такой содержащийся в D интервал (a, b), что A < a < A+ , В - < b < B. Сделав это, положим G = DG0 + (A, a) + (b, B). Множество G открыто, ограничено, содержит E и таково, что mG < m*E + e. Но кроме того (и это здесь основное) множество F = CDG оказывается замкнутым, что вытекает из легко проверяемого тождества F = [а, b] × CG. Так как F Ì СDЕ, то m*[СDЕ] ³ mF = mD - mG > mD - m*E -e. Отсюда, в силу произвольности e, следует неравенство (*), а с ним и теорема. Следствие. В обозначениях теоремы будет m*[CDЕ] - m*[CDЕ] = m*E – m*E. В самом деле, если мы переменим роли множеств Е и СDЕ, то получим, что m*[CDЕ] + m*Е = mD, откуда m*[CDЕ] + m*E = m*E + m*[CDE], а это равносильно доказываемому утверждению. Измеримые множества Определение. Ограниченные множество Еназывается измеримым, если его внешняя и внутренняя меры равны друг другу : m*E=m*E.
Их общее значение называется мерой множества E и обозначается через mE: mE=m*E=m*E .
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (275)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |