Общие теоретические положения

Особенности наращения и дисконтирования по сложной процентной и дисконтной ставке представлены в табл. 2.

Таблица 2

Изменение процентной ставки во времени

FV = PV(1+i₁)ⁿ¹ (1+i₂)ⁿ² … (1+i_k)^nk,                  (2.7)

где i_1, i_{2 …} i_k – последовательные значения ставок; n₁, n₂ … n_k – периоды, в течение которых действуют соответствующие ставки.

Начисление процентов за дробное число лет

Часто срок в годах для начисления процентов не является целым числом. В этом случае используют 2 метода:

1) Общий порядок расчета: FV_n = PV(1+i)ⁿ;                                     (2.8)

2) Смешанный метод: FV_n = PV(1+i)^a (1+ib).                                    (2.9)

Проценты за целое число лет начисляются по схеме сложных процентов, а за дробную часть срока – по формуле простых процентов, где n = a + b – срок ссуды, а – целое число лет, b – дробная часть года.

Сравнение роста по простым и сложным процентным ставкам

Соотношение множителей наращения, рассчитанных по аналогичным простым и сложным процентным ставкам, зависит от срока ссуды (табл. 3).

Таблица 3

Формулы удвоения

При начислении простых процентов:

n = (FV/PV – 1) / i_s = 1 / i_s                                       (2.10)

При начислении сложных процентов:

1) Приближенное количество лет (правило 72): n = 72/i (%)                  (2.11)

2) [точное кол-во лет                       (2.12)

Начисление внутригодовых процентов

В условиях финансовой сделки оговаривают не ставку за период, а годовую ставку (обозначим j). Если число периодов начисления в году – m, то ставка за конкретный период начисления j / m, n – срок финансовой операции в годах, mn – общее кол-во периодов начисления, тогда формула наращения:

FV = PV(1+j/m)^mn                                                   (2.13)

Эффективная ставка – это такая годовая ставка сложных процентов (i), которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.

Определение срока ссуды

При наращении по сложной годовой ставке i и по номинальной ставке j исходя из формул FV = PV(1+i)ⁿ  и FV = PV(1+j/m)^mn получим:

n = ln (FV/PV) / ln(1+i)                                   (2.14)

n = ln (FV/PV) / m∙ln(1+j/m)                                 (2.15)

При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d, исходя из формулы PV = FV(1-d)ⁿ , получим:

n = ln (PV/FV) / ln(1 – d)                        (2.16)

Определение величины процентной ставки

i = ,                                  (2.17)

j = m ,                            (2.18)

d =                                     (2.19)