ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Рассмотрим задачу оптимизации параметров регулятора СТУ по критерию минимума среднего квадрата ошибки наведения. Критерий точности СТУ примем в виде

.                                        (1)

В общем случае задача многопараметрической оптимизации СТУ ставится следующим образом:

,                                                    (2)

где  – вектор корректируемых параметров регулятора, ;  – оптимальное значение вектора.

Расчетная схема должна обеспечивать на каждом шаге алгоритма оптимизации вычисление оценки среднего квадрата ошибки и передачу его стандартной процедуре MATLAB, которая выполняет численную параметрическую минимизацию. В данной работе в качестве корректируемого параметра рассмотрим коэффициент передачи Ki разомкнутой системы. При этом следует задать такое начальное приближение коэффициента, при котором система устойчива.

Расчет Ki вдиапазоне значений, где система устойчива,сводится к решению задачи однопараметрической минимизации

,                                              (3)

где Ki^* – оптимальное значение коэффициента.

Оптимизация СТУ по одному параметру может производиться с помощью стандартной функции Fminbnd пакета Optimization Toolbox. Эта функция предназначена для скалярной нелинейной минимизации с ограничениями вида x₁< x< x₂. Алгоритм основан на методе золотого сечения и квадратичной (параболической) интерполяции. Функция оптимизации записывается в виде:

Ki = fminbnd(@cget,a,b),

где cget – целевая функция; a и b – границы интервала изменений Ki, который соответствует устойчивой системе.

При многомерной оптимизации можно использовать стандартную MATLAB-функцию F minsearch. Эта функция позволяет найти минимум функции нескольких переменных без ограничений (т.е. решить задачу безусловной оптимизации) с использованием симплексного метода. Функция записывается в виде

x = fminsearch(@cget,x0),

где x0 - точка, в окрестности которой минимизируется целевая функция. В качестве оптимизируемых параметров используются коэффициент передачи системы по разомкнутому контуру, постоянная времени  и разнос n дифференцирующего фильтра.

После оптимизации регулятора по критерию точности необходимо с помощью пакета Control System ToolBox выполнить анализ динамики системы. При этом с помощью логарифмических амплитудных и фазовых ЧХ скорректированного контура оцениваются запасы устойчивости по амплитуде и фазе. Кроме того, контролируется качество переходного процесса в системе при ступенчатом входном сигнале.

На основании полученных оценок точности, устойчивости, колебательности и быстродействия делается вывод о приемлемости рассчитанного варианта регулятора. В случае его неприемлемости уточняются начальные приближения по параметрам, после чего повторяют процедуру синтеза.

В общем случае задачу оптимизации САУ по критерию минимума среднего значения квадрата ошибки следует ставить как условную, а именно, как задачу оптимизации в условиях ограничений типа неравенств. Последние представляют собой функциональные и параметрические ограничения, которые обусловлены требованиями к показателям устойчивости, колебательности и быстродействия системы, а также требованиями к физической реализуемости параметров регулятора.

При решении задач условной оптимизации часто используется метод штрафных функций. В соответствии с этим методом, если в процессе работы алгоритма минимизации будет превышено некоторое граничное значение коэффициента передачи , то к исходной целевой функции  прибавляется большая константа. Изображающая точка алгоритма минимизации как бы отскакивает от высоких стен, окружающих ту часть пространства параметров регулятора (в данном случае часть числовой прямой, где ), в которой выполняются функциональные ограничения, в частности, ограничения по запасам устойчивости, показателям колебательности и быстродействия системы.

Для исключения локальных минимумов и для улучшения сходимости алгоритма к глобальному минимуму вводят сетку начальных приближений в пространстве корректируемых параметров. Запуски алгоритма минимизации производятся из узлов этой сетки.

Для контроля работоспособности рассчитанной СТУ проводится серия «пусков» с использованием виртуального испытательного стенда и оценивается среднеквадратичное отклонение ракеты в установившемся режиме полета.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какой критерий используется для оценки точности стохастической системы в установившемся режиме?

2. Какую структуру имеет регулятор и какие параметры корректируются?

3. В чем состоит математическая постановка задачи оптимизации СТУ? Какие ограничения должны учитываться?

4. Какие численные методы и стандартные процедуры используются для минимизации?

5. Что такое условная оптимизация СТУ по среднеквадратичному критерию? В чём суть метода штрафных функций? Как он реализуется с помощью Simulink- схемы?

6. Как влияет значение параметра  на дисперсию ошибки?

7. Какие показатели динамики должны контролироваться при синтезе?

8. Влияет ли выбор начального приближения на результат оптимизации?

9. Как влияет интенсивность шумовой помехи на результаты оптимизации?

ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какой критерий используется для оценки точности стохастической системы в установившемся режиме?

C помощью логарифмических амплитудных и фазовых ЧХ скорректированного контура оцениваются запасы устойчивости по амплитуде и фазе. Кроме того, контролируется качество переходного процесса в системе при ступенчатом входном сигнале.

2. Какую структуру имеет регулятор и какие параметры корректируются?

В качестве оптимизируемых параметров используются коэффициент передачи системы по разомкнутому контуру, постоянная времени  и разнос n дифференцирующего фильтра.

,                                                    (2)

где  – вектор корректируемых параметров регулятора, ;  – оптимальное значение вектора.

3. В чем состоит математическая постановка задачи оптимизации СТУ? Какие ограничения должны учитываться?

Оптимизация СТУ по одному параметру может производиться с помощью стандартной функции Fminbnd пакета Optimization Toolbox. Эта функция предназначена для скалярной нелинейной минимизации с ограничениями вида x₁< x< x₂. При многомерной оптимизации можно использовать стандартную MATLAB-функцию F minsearch. Эта функция позволяет найти минимум функции нескольких переменных без ограничений (т.е. решить задачу безусловной оптимизации) с использованием симплексного метода. Функция записывается в виде

x = fminsearch(@cget,x0),

где x0 - точка, в окрестности которой минимизируется целевая функция.

4. Какие численные методы и стандартные процедуры используются для минимизации?

Оптимизация СТУ по одному параметру может производиться с помощью стандартной функции Fminbnd пакета Optimization Toolbox. Эта функция предназначена для скалярной нелинейной минимизации с ограничениями вида x₁< x< x₂. Алгоритм основан на методе золотого сечения и квадратичной (параболической) интерполяции. Функция оптимизации записывается в виде:

Ki = fminbnd(@cget,a,b),

где cget – целевая функция; a и b – границы интервала изменений Ki, который соответствует устойчивой системе.

5. Что такое условная оптимизация СТУ по среднеквадратичному критерию? В чём суть метода штрафных функций? Как он реализуется с помощью Simulink- схемы?

В общем случае задачу оптимизации САУ по критерию минимума среднего значения квадрата ошибки следует ставить как условную, а именно, как задачу оптимизации в условиях ограничений типа неравенств. Последние представляют собой функциональные и параметрические ограничения, которые обусловлены требованиями к показателям устойчивости, колебательности и быстродействия системы, а также требованиями к физической реализуемости параметров регулятора. Метод штрафных функций. В соответствии с этим методом, если в процессе работы алгоритма минимизации будет превышено некоторое граничное значение коэффициента передачи , то к исходной целевой функции  прибавляется большая константа. Изображающая точка алгоритма минимизации как бы отскакивает от высоких стен, окружающих ту часть пространства параметров регулятора (в данном случае часть числовой прямой, где ), в которой выполняются функциональные ограничения, в частности, ограничения по запасам устойчивости, показателям колебательности и быстродействия системы.

6. Как влияет значение параметра  на дисперсию ошибки?

При решении задач условной оптимизации часто используется метод штрафных функций. В соответствии с этим методом, если в процессе работы алгоритма минимизации будет превышено некоторое граничное значение коэффициента передачи , то к исходной целевой функции  прибавляется большая константа.

7. Какие показатели динамики должны контролироваться при синтезе?

На основании полученных оценок точности, устойчивости, колебательности и быстродействия делается вывод о приемлемости рассчитанного варианта регулятора. В случае его неприемлемости уточняются начальные приближения по параметрам, после чего повторяют процедуру синтеза.

8. Влияет ли выбор начального приближения на результат оптимизации?

Да. От выбора начального приближения зависит сходимость к точке глобального минимума, при наличии нескольких локальных минимумов у оптимизируемой целевой функции.

9. Как влияет интенсивность шумовой помехи на результаты оптимизации?

При очень высокой интенсивности шумовой помехи приемлемой оптимизации можно не добиться.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3