Вторая задача динамики

По заданной массе и действующей на точку силе можно определить уравнения движения этой точки.

Рассмотрим решение этой задачи в декартовой системе координат. В общем случае сила  является функцией многих переменных. Проецируя (1.2) на декартовы оси, получим

                                      (1.5)

если рассматривать случай зависимости силы только времени, координат и скорости.

Законы движения материальной точки представляют собой систему трех линейных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций х( t ), у( t ), z ( t ), где независимым параметром  является время t .

Общий интеграл этих уравнений содержит шесть произвольных постоянных. Функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям движения точки и содержащие шесть произвольных постоянных интегрирования, называются общим решением дифференциальных уравнений движения свободной точки и записываются в виде

В каждой конкретной задаче постоянные интегрирования определяются из начальных условий задачи:

                                     (1.6)

где , , - координаты движущейся точки; , ,  - проекции ее скоростей (рис. 1.5).

Подчинив найденные первые и вторые интегралы дифференциальных уравнений (1.5) начальным условиям задачи (1.6), вычисляют все шесть постоянных интегрирования. Начальные условия задачи определяют единственное решение системы дифференциальных уравнений.

Интегрировать уравнения движения (1.5) можно с помощью определенных интегралов. Тогда нижние пределы интегрирования будут соответствовать значениям интегрируемых величин в начальный момент времени, т.е. начальным условиям задачи, верхние пределы интегрирования будут соответствоватьзначению интегрируемых величин при текущем времени t.

Основные виды прямолинейного движения точки

При прямолинейном движении скорость и ускорение точки все время направлены вдоль траектории точки. Совместим ось Ox с траекторией движущейся точки, тогда дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки, согласно (1.5), имеет вид 

                                                                                  (1.5а)

Начальные условия задачи задают в виде:

при .

Наиболее простыми и интересными примерами прямолинейного движения материальной точки являются примеры, когда сила зависит от одного параметра.

Рассмотрим конкретные примеры на составление и интегрирование дифференциального уравнения (1.5а). Эти примеры позволят выявить некоторые особенности в решениях таких задач.

Постоянная сила

Пример 4. В результате полученного толчка тело весом mg начало скользить вниз с начальной скоростью  по шероховатой поверхности, расположенной под углом  к горизонту (рис. 1.6). Определить путь, пройденный телом за время , если коэффициент трения скольжения тела по поверхности равен .

Решение. Направим ось х вдоль наклонной поверхности (рис. 1.6). Совместим начало отсчета на оси х с положением тела в начальный момент времени.

Начальная скорость  направлена вдоль оси х вниз, следовательно, начальные условия задачи имеют вид

.

Тело не является свободным. Мысленно отбросим наклонную поверхность и заменим ее действие на тело реакцией . Реакция шероховатой поверхности  имеет две составляющие: нормальную  и силу трения   (  и направлена перпендикулярно поверхности, сила  направлена в сторону, противоположную предполагаемому движению).

Запишем закон движения (1.5а):

                   ;

и после сокращения на m , получим

.                                 (а)

Согласно определению ускорения  = , тогда (а) запишем как

.                                   (б)

Получили линейное дифференциальное уравнение с неразделенными переменными. Для разделения  переменных помножим правую и левую части уравнения  (б) на dt,

.

Проинтегрируем правую и левую части последнего уравнения с учетом заданных начальных условий ( ). Нижние пределы интегрирования правой и левой части уравнения соответствуют значениям интегрируемых величин при  t = 0, верхние пределы интегрирования – соответствуютзначениям интегрируемых величин при текущем времени t,  т.е.

.

Вычислим интегралы

.

Для определения уравнения движения тела используем подстановку , получим

.

Разделяя переменные

.

Проинтегрируем полученное уравнение с учетом заданных начальных условий (t = 0, x = 0):

.

Вычисляя, получим

.

Подставив заданное значение  и = 4 , получим путь, пройденный телом за 2с:

м.