Движение материальной точки в пустоте
Рассмотрим движение материальной точки, на которую действует только сила тяжести (сила, имеющая постоянную величину и направление). Выберем неподвижную систему координат так, чтобы ее начало совпадало с начальным положением точки, а ось y направим вертикально вверх. Ось x расположим в плоскости движения (рис. 1.12) Рис 1.12 Начальная скорость точки образует угол с осью x . Тогда начальные условия задачи запишутся (1.7) Составим дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси координат. На точку действует сила тяжести, направленная по вертикали вниз. Тогда дифференциальные уравнения движения точки в плоскости имеют вид (1.8) Интегрируя первое уравнение (1.8) с учетом начальных условий (1.7), имеем
Интегрируя второе уравнение (1.8) с учетом начальных условий (1.7), имеем Интегрируя третье уравнение (1.8) с учетом начальных условий (1.7) имеем Из полученных уравнений видно, что точка движется в соприкасающейся плоскости xoy , согласно уравнениям движения . (1.9) Проведем исследования уравнений движения точки (1.9). Исключим из них параметр t (время), получим уравнение траектории движения в явном виде , (1.10) которое представляет собой уравнение параболы. Вершина параболы может быть определена из условия , т.е. , откуда . (1.11) Дальность полета по горизонтали ОА (рис. 1.11), за счет симметричности траектории, равна . (1.12) Из выражения (1.12) видно, что · при углах и тело падает в одну и ту же точку, т.к. ; · максимальная дальность полета обеспечивается при , т.е. при , тогда дальность полета ОА (рис. 1.11) равна . (1.13) Подставляя значение в уравнение траектории (1.10), определим ординату вершины . (1.14)
Из (1.14) видно: максимальная высота полета ОД (рис. 1.12) обеспечивается, когда , т.е. при , и равна . (1.14,а) Отметим, что расстояние от начала координат до максимально возможной высоты полета зависит только от величины скорости. Определим время , в течение которого тело поднимается вверх. Для этого достаточно решить уравнение , т.к. в тот момент, когда достигнет наибольшего значения, проекция скорости на эту ось равна нулю, т.е. Vy = =0. Итак, используя второе уравнение из (1.9), имеем , откуда . (1”) Полное время полета определим исходя из того, что полет прекращается в тот момент, когда . Пользуясь первым уравнением в (1.9) и (1.12), находим , откуда . (2”) Сравнивая выражения (1”) и (2”), видно, что при любом угле наклона броска материальной точки полное время полета в 2 раза больше времени подъема.
Парабола безопасности
Проведем исследование движения тела (1.9) меняя углы наклона начальной скорости . Если при заданном значении начальной скорости тела менять угол наклона начальной скорости (формулы (1.9 – 1.10)), то получим множество разных траекторий снаряда (рис. 1.13). Максимальная дальность полета снаряда по горизонтали достигается при =450, а максимальная высота полета равна при =900. Уравнение параболы, проходящей через точки D и С (рис 1.13), имеет вид . (1.15) Эта парабола называется параболой безопасности. Рис.1.13 При этом все траектории, отвечающие значениям , заключенным в интервале , будут находиться внутри этой параболы. Действительно, решая совместно уравнения (1.10) и (1.15), находим, что соответствующие линии (траектория полета и парабола безопасности) имеют единственную общую точку с координатами
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (297)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |