Движение снаряда в сопротивляющейся среде
Рассмотрим задачу о полете снаряда, выброшенного из орудия с начальной скоростью под углом к горизонту. Примем точку вылета из ствола за начало координат, ось у направим вертикально вверх, ось х будем считать горизонтальной (рис. 1.14). Силу сопротивления воздуха примем пропорциональной скорости, т.е. . Для определенности предположим, что начальная скорость располагается в плоскости х o у. Дифференциальный закон движения точки имеет вид . (1.16) Вектора и в формуле (1.16) имеют, в общем случае, по три проекции: и . Тогда проекции векторного уравнения (1.16) на декартовы оси координат, имеют вид (1.16,а) На снаряд действуют две силы: сила тяжести снаряда , направленная вдоль оси у вниз, и сила сопротивления , направление которой противоположно направлению скорости (рис.1.14); их равнодействующая , (сила, действующая на снаряд), равна их геометрической сумме этих сил: . Проекции силы на декартовы оси координат, запишутся . (1.17) Тогда уравнения движения (1.16,а), учитывая (1.17), примут вид . (1.18) Запишем начальные условия задачи: при t = 0, (1.19) где - модуль начальной скорости снаряда. После преобразования и сокращения на m, дифференциальные уравнения (1.18) примут вид (1.20) Получили дифференциальные уравнения с неразделенными переменными. Разделим переменные в каждом из уравнений (1.20): Проинтегрируем каждое из этих уравнений, с учетом начальных условий (1.19), получим
После потенцирования уравнений, имеем:
Подставляя значения начальных условий задачи (1.19), получаем (а) Последние формулы дают возможность определить скорость снаряда в любой момент времени. Из них следует, что снаряд летит в плоскости хОу, поскольку . Для определения перемещений х и у вдоль координатных осей воспользуемся тем, что . Тогда, уравнения (а) примут вид (б) Уравнения (б) снова разделились: первое из них связывает неизвестную функцию , а второе – функцию . Разделяя переменные в уравнениях (б) и интегрируя с учетом начальных условий (1.19), находим: ; Получили уравнения движения точки в плоскости в виде (1.21) Формулы (1.21) дают возможность определить положение снаряда в любой момент времени. На рис 1.15 представлены траектории движения снаряда с различными коэффициентами k , т.е. в средах различной плотности.
Рис.1.15 Путем предельного перехода при , получим уравнения движения снаряда под действием одной силы тяжести. Обозначим координаты в этом случае и . При вычислении пределов используется формула разложения в ряд экспоненты . Для х( t ) из (1.21) получаем
Прежде чем переходить к пределу в из (1.21), преобразуем выражение: Тогда Получили уравнения движения точки под действием одной силы тяжести, которые соответствуют полученным раньше (1.9). Отметим, что траектории движения тела (1.21) не являются в точности параболами. В действительности траектории еще сложнее, поскольку снаряд при движении испытывает сопротивление воздуха; ускорение свободного падения g зависит от высоты над поверхностью Земли; определенные поправки в процесс попадания снаряда в цель вносит вращение Земли. При решении реальных задач всегда пренебрегают теми или иными факторами. Так, если при небольшой начальной скорости тела ( ) роль сопротивления воздуха невелика, то при больших , например при , сопротивлением воздуха пренебрегать нельзя; сопротивление воздуха уменьшает дальность полета снаряда от получающегося по формуле (1.11) значения 61 км до 22,2 км по формулам (1.21).
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (532)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |