Сила зависит от времени
Пример 6. Груз весом начинает двигаться прямолинейно из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной поверхности под действием силы , направленной вдоль оси ox. Вычислим уравнение движения груза. Решение. Выберем начало отсчета О в начальном положении груза и направим ось o х в сторону предполагаемого движения (рис. 1.8). Начальные условия задачи имеют вид: при , , . Рис.1.8 Составим закон движения груза (1.5а): . Разделим переменные по известной схеме и проинтегрируем полученное уравнение с учетом начальных условий задачи , откуда . (а) Для определения уравнения движения тела используем подстановку , получим . Разделим переменные (помножим правую и левую части уравнения на и проинтегрируем полученное уравнение с учетом начальных условий . Вычисляя интегралы в правой и левой части уравнения, получим уравнение движения груза .
4. Сила зависит от скорости
Пример 7. Точка массой m падает вертикально вниз без начальной скорости под действием силы тяжести, испытывая силу сопротивления воздуха , где k – положительная константа, которая зависит от плотности среды и площади проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения (рис.1.9). Найти уравнение движения точки. Решение. Направим ось х вертикально вниз, выбрав за начало координат положение точки в нулевой момент времени, т.е. (рис. 1.9). В произвольный момент времени прикладываем к точке действующие на нее силы и . Составим дифференциальный закон движения (1.5а) . Сократив на m правую и левую части уравнения и заменим на , получим . (а) Разделим переменные, помножим на dt и разделим на правую и левую части (а). Проинтегрируем полученное выражение с учетом начальных условий: . Вычисляя интегралы, получим , откуда или , (б) поскольку lg1=0. Потенцируя уравнение (б) и далее решая относительно V, имеем , откуда . (в) Переходя к пределу при , получим предельную скорость падения тела: .
Предельную скорость можно получить проще из условия максимума скорости, т.е. равенства нулю ускорения (а): Скорость, близкая к предельной, устанавливается довольно быстро (рис. 1.10). Величина скорости зависит от значения константы k. Если не учитывать сопротивление среды (k=0), то предельного значения скорости нет: пунктирная кривая на рис 1.10); при увеличении константы k , предельная скорость уменьшается. Рис.1.10 На рис 1.11 показано падение тела массой с высоты без парашюта (k 0,003) – кривая В и с парашютом (k 0,4) – кривая С. Если начальная скорость падения тела не нулевая (например ), то при падении тела с парашютом (k 0,4), скорость быстро затухает до своего критического значения – пунктирная кривая кривая D на рис.1.11. Рис.1.11 Продолжим вычисление уравнения движения падающей точки. Заметим, что правую часть выражения (в) можно представить через гиперболический тангенс ( th х): . Тогда выражение (в) можно записать как . Подставим вместо V ее значение , разделяя переменные и интегрируя правую и левую части, получим , или . Итак, уравнение движения падающей точки имеет вид . Здесь ch х – гиперболический косинус. Замечание. При вычислении интегралов полезно пользоваться таблицей интегралов.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (193)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |