В прямоугольных координатах

   Основная задача баллистики неуправляемого ОС состоит в определении его траектории при следующих допущениях: Земля принимается плоской и невращающейся; вектор притяжения g̅ направлен по нормали к поверхности Земли и имеет постоянную величину; атмосфера считается нормальной артиллерийской; углы атаки и скольжения равны нулю.

   При указанных допущениях уравнения движения центра массы принимают вид:

   С учетом предлагаемой формулы   (14)

   j_x = R_x / m =   C_x0 ( M )  πd² ρ v ² ⁄ 8 m

и ρ - плотности воздуха на высоте y

   ρ = ρ₀ H ̃( y ) будем иметь функцию ускорения лобового сопротивления:

    j_x = R_x / m = C_x0 ( M ) πd ² ρ ₀ H ̃( y ) v ² ⁄ 8 m

   Так как сила лобового сопротивления R_x противоположна вектору скорости v̅(t), то

    j̅ₓ = - C_x0 ( M ) πd ² ρ₀ H ̃( y ) v̅ ² ⁄ 8 m .

Тогда уравнение (17) справедливо записать в виде:

         = - C_x0 ( M ) πd ² ρ ₀ H ̃( y ) v̅ ² ⁄ 8 m   + g̅ .      (18)

Введем новую функцию f (M,d,m,y) = C_x0 ( M ) πd ² ρ₀ H ̃( y ) ⁄ 8 m .

При этом уравнение (18) преобразуется следующим образом:

       = - f (M,d,m,y) v̅ ²(t)  + g̅ .                           (19)                 

   Из уравнения (19) следует, что траектория ОС является плоской кривой, лежащей в вертикальной плоскости, содержащей начальный вектор скорости  v̅₀ (или с учетом ветра).

       Если использовать стартовую систему координат с вертикальной осью y, направленной вверх, осью x и плоскостью бросания (отделения ОС ) Оxy,  и обозначить, как и в первой части настоящей работы, составляющие вектора v̅ по осям x и y  -  проекции скорости

   - на горизонтальную ось x  v_x(t);

   - на вертикальную ось y  v_y(t),

то, спроектировав векторное равенство (19) на оси прямоугольной стартовой системы координат, найдем кинематические соотношения (20)  для ускорений и скоростей центра массы ОС по осям :

             v̇ₓ(t) = - f (M,d,m,y) vₓ²(t) ; 

          v ̇ _y(t) = - f (M , d , m , y) v _y²(t)  - g;                       (20)      

       ẋ(t) = vₓ(t)

           ẏ(t) = v _y(t) .

  Уравнения (20) совместно с формулами

                                  ,  

 (где v_τ - приведенная к данной температуре скорость, которая, очевидно, превышает истинную скорость v, если температура воздуха в данной точке траектории ниже, чем температура T_0N  у поверхности Земли для стандартной атмосферы),

и начальными условиями  t₀ = 0, x₀ = 0, y₀ = H ( H - высота точки отделения ОС) ,  

         v_x(t₀) = v₀ cos (α)  , v_y(t₀) = v₀ sin (α)

представляют собой систему четырех нелинейных уравнений первого порядка с четырьмя неизвестными, которая решается численными методами интегрирования. 

      Уравнения движения центра масс ОС может быть дополнено дифференциальным уравнением, описывающим скорость изменения угла наклона траектории  α.

     !!!                α̇ (t) = - g / v_τ * cos (α)  !!!                     (21)            

     Ограничение по высоте определяется максимальной высотой полета БЛА, в данной постановке задачи H max  ≤ 7950 м .

  Плотность воздуха  ρ _H изменяется по высоте   траектории ОС  по закону, которым можно пользоваться при расчетах:

                         ρ_H = 1,225(1- 2,256·10^-5 y₀) ^4,256.

Температура  слоя  воздуха  изменяется  по закону в зависимости от высоты

                             T _N (y) = 288,15 - 6,5 ·10¯³ y ⁰(К).

Скорость звука на высоте y  = H  зависит от T _N (y) как :

                               av_H = ,

при этом число Маха на высоте y есть

                        М _H =  v / av_H .