Особенности движения объекта в воздушной среде

     Обычно баллистические таблицы элементов траектории и параметров прицеливания составляются для некоторой стандартной атмосферы. Стандартная атмосфера представляет собой макет атмосферы, полученный в результате осреднения параметров реальной атмосферы с учетом времен года и координат точек земной поверхности.

     В качестве стандартной атмосферы в теории воздушной стрельбы и бомбометания принята нормальная артиллерийская атмосфера, которая определяется следующими параметрами у Земли:

     

      - газовая постоянная воздуха R = 287 дж/кг •град (в диапазоне высот до 80 км состав воздуха остается постоянным) или в единицах СИ

R = 8,31441(26) Дж/(моль•К) ;

      - давление  н/м² ;       

      - температура     = 288,9 ⁰  (K).       

       

      Зависимость абсолютной температуры от высоты  приводится в таблицах.

    Скорость звука есть скорость распространения в газе (среде) бесконечно малого механического возмущения. Скорость звука av определяется формулой:

 

        

 

где k - коэффициент адиабаты - отношение удельных теплоемкостей газа при постоянном давлении и объеме. Коэффициент адиабаты для двухатомных газов k = 1,4, для одноатомных газов k = 1,667.   

     Замечание. Так как в тропосфере (до 8 - 16 км), стратосфере (от 8 -16 до 80 км) и самой нижней части ионосферы (от 80 км) диссоциация молекул кислорода и азота не имеет существенного значения, воздух можно рассматривать как двухатомный газ, то есть принять k = 1,4.

 

    В первой части настоящей работы предлагается исследование динамики ОС в идеальных условиях в гравитационном поле в вертикальной плоскости.

    В данной части работы, как указывалось выше, предлагается провести расчеты динамических характеристик с учетом силы трения.

    Для этого необходимо ввести понятие коэффициента вязкости.

    Если рассмотреть две параллельные плоскости, где нижняя плоскость неподвижна, а верхняя движется параллельно первой плоскости с некоторой скоростью , то между плоскостями устанавливается ламинарное течение газа в пространстве. При этом скорость нижнего слоя газа, примыкающего к неподвижной плоскости, равна нулю, а скорость слоя газа, примыкающего к верхней плоскости, равна .

       Относительное движение двух соседних слоев газа приводит к появлению силы трения .

Отношение силы трения к единице поверхности называется напряжением сдвига.

       Напряжение сдвига пропорционально градиенту скорости

где  - скорость слоя газа, расположенного на расстоянии y от неподвижной плоскости;

η - коэффициент вязкости - является функцией абсолютной температуры для данного газа.

Например,  для воздуха

!!!      

   

 

где   = 288,9 ⁰  (K) ,

1,788• 10 ‾ ⁵ кг / мсек

 

   Отношение коэффициента вязкости η к плотности газа ρ называется кинематическим коэффициентом вязкости :

                                                    

  

 

     5.2 Аэродинамические силы 

    

     Траектория ОС (ракеты, снаряда ) состоит из

 - активного участка - участка траектории, пройденного ракетой с включенным двигателем, и

- пассивного участка -  участка траектории, пройденного ракетой с выключенным двигателем.

Длина активного участка АБ равна нулю.

     При движении ракеты относительно воздуха на каждый элемент поверхности ракеты кроме нормального давления действует также и касательная сила.

     Разность между нормальным давлением, действующим на движущуюся ракету (ОС), и статическим давлением, определенным в текущей точке траектории, называется избыточным давлением.

     Равнодействующая избыточного давления и касательных напряжений, действующих на всю поверхность соприкосновения ракеты (ОС) с воздушной средой, носит название аэродинамической силы.

     Проекции аэродинамической силы R̅̅ на оси системы координат выражаются формулами:

                    R _x = - C _x q S;

               R _y = C _y q S;

                 R _z = - C _z q S ;

где величина q есть скоростной напор, а

           S - площадь поперечного сечения ракеты (ОС)или площадь крыла летательного аппарата.

     Аэродинамические коэффициенты C _x, C _y, C _z являются функциями углов атаки - α _ат и скольжения - β _ск, углов отклонения рулей –

- δ_в угла поворота руля высоты ( управляет движением ракеты вокруг оси z₁ );

- δ_н угла поворота руля направления (управляет движением ракеты вокруг оси y₁ );

- δ_э угла поворота элеронов  (управляет движением ракеты вокруг оси x₁),

и зависят от чисел M  и R_e ,

 

                 C _x = C _x (M , R_e, α _ат, β _ск, δ_в, δ_н, δ_э);

                 C _y = C _y (M , R_e, α _ат, β _ск, δ_в, δ_н, δ_э);

                 C _z = C _z (M , R_e, α _ат, β _ск, δ_в, δ_н, δ_э),

где !!!       M = v / av; R_e = v d /  ,

с учетом следующих обозначений:

         v - скорость центра массы ОС относительно Земли;

              av -  скорость звука в текущей точке траектории,

               - кинематический коэффициент вязкости,

                 d - характерный линейный размер ракеты (в частности, максимальный диаметр корпуса).

Атмосфера в расчетах предполагается неподвижной относительно Земли.

 

    Для аэродинамических коэффициентов при решении инженерных задач применяются обычно  упрощенные  формулы.  Например,    коэффициент

 C _x = C _x (M , R_e, α _ат, β _ск, δ_в, δ_н, δ_э)

может быть представлен в виде:

                                                                              (8)

 C _x = C _x0 ( M ) +  C _x1 ( M , y ) + C _x2 ( M , α _ат,  β _ск ) + C_x3 ( M , δ_в, δ_н, δ_э),

 

где C_x0 (M ) - коэффициент силы лобового сопротивления ОС ( в том числе,  снаряда ),  летящего у  Земли с нулевыми углами атаки и скольжения

α _ат,  β _ск и неотклоненными рулями;

C _x1 ( M , y ) - поправка к коэффициенту C _x на число R_e и высоту y ;

 C _x2 ( M , α _ат,  β _ск )   и C_x3 ( M , δ_в, δ_н, δ_э) - поправки к коэффициенту C _x на углы атаки и скольжения   α _ат,  β _ск и углы отклонения воздушных рулей δ_в,  δ_н,  δ_э .

 

     Замечание. 1) Так как обычно конструкции ракет (снарядов) таковы, что углы атаки и скольжения можно считать малыми величинами, то это допущение позволяет пренебречь третьим

слагаемым в формуле (8) для активных участков полета баллистических ракет, для крылатых ракет, для неуправляемых снарядов и бомб.

                     2) Так как площадь воздушного руля достаточно мала по сравнению с площадью продольного сечения ракеты, то поправкой C_x3 ( M , δ_в, δ_н, δ_э) в большинстве случаев пренебрегают. Поэтому формулу ( 8 ) упрощают до выражения

 

       C _x =  C _x0 ( M ) +  C _x1 ( M , y ).                              ( 9 )

 

                      3) Известно, что при увеличении высоты возрастает кинематический коэффициент вязкости ,  а,  следовательно, и  поправка

C _x1 ( M , y ), которая на высотах, превосходящих 60 км, принимает порядок величины C _x0 ( M ). Однако, на малых высотах до 20 - 30 км, при малых углах атаки и скольжения, поправкой C _x1 ( M ) можно пренебречь.

 

    Таким образом, для рассматриваемого БЛА с вооружением в виде неуправляемых авиационных ракет и бомб, при максимальной высоте полета 7950 м справедливо можно воспользоваться приближением

 

   C _x ≈ C _x0 ( M ) .                                                 (10)

 

     Реактивная сила представляет собой силу, обусловленную истечением газов из сопла двигателя.

     Скорость истечения определяется в основном силой давления корпуса ракеты на газовую струю. В соответствии с третьим законом Ньютона газовая струя должна оказывать обратное давление на камеру сгорания, которое и является реактивной   силой:

           .

            Реактивная сила пропорциональна секундному расходу массы топлива - ṁ   и скорости истечения  (в предположении, что ось двигателя параллельна оси ракеты ).

             

                          

     5.3 Сила лобового сопротивления и ее ускорение

     Стабильность траектории неуправляемого ОС (в том числе, снаряда) обеспечивается либо с помощью хвостового оперения (АБ, некоторые виды авиационных ракет и реактивных снарядов) либо за счет за счет быстрого вращения вокруг оси симметрии (артиллерийские снаряды, вращающиеся реактивные снаряды). Как отмечалось выше, обычно для неуправляемых ОС углы атаки и скольжения принимаются близкими к нулю.

 

    Следовательно, основными силами, действующими на неуправляемое ОС, являются сила лобового сопротивления, сила притяжения Земли и сила тяги двигателя.

   Тяга двигателя (в предположении, что ось сопла совпадает с осью x₁ связанной системы (осью ОС)) равна сумме статической тяги  P_st  и реактивной силы P_r .

    Статической тягой называется равнодействующая избыточного давления на срезе сопла. Статическая тяга определяется формулой

 

 ,                                        (11)

где  - давление газов на срезе сопла;

  p  - атмосферное давление;

   - площадь среза сопла.

   Тогда полная тяга ракетного двигателя определяется как

    

   Функция C_x ≈ C_x0( M ) зависит от геометрической формы ОС, и для ОС определенной формы выводится средняя или эталонная зависимость C ̅ _x0 ( M ), называемая законом сопротивления.

   Тогда для ОС определенной группы принимают соотношение

                               C_x0( M ) = i  C ̅ _x0 ( M ),

 где i - коэффициент формы.

   Диапазон чисел M , для которого вычисляется средняя величина коэффициента формы

                              i _ср  =  C _x0 ( M ) / C ̅ _x0 ( M ),

зависит от  конструкции  системы отделения ОС, самого ОС и условий боевого применения.

   Широкое распространение в теории баллистики неуправляемых ОС получил закон сопротивления, предложенный итальянским баллистиком Сиаччи.

Таблица 1. аргументов функций элементов траектории ОС для закона сопротивления Сиаччи

 

   Ускорение силы  лобового  сопротивления j_x  определяется формулой

!!!  j _x = R _x / m =  i  C̅ _x0 ( M )  πd ² ρ v ² ⁄ 8 m ,                                         (13)

 

где d - калибр (максимальный диаметр) ОС;

   ρ - плотность воздуха на высоте y

    ρ = ρ₀ H ̃(y),

где H ̃(y) - функция, зависящая от отношения температур и соответствующих давлений.

Величины ρ₀, p₀, T₀ есть, соответственно, плотность, давление и температура фактической атмосферы у поверхности Земли.

    Функция H ̃(y), зависящая от отношения температур и соответствующих давлений приведена в таблице 2 для стандартной артиллерийской атмосферы.

 

· Таблица 2 для функции H ̃(y)

  

 

  Существует также таблица для H ̃(y)для временной стандартной атмосферы.

  Ускорение силы лобового сопротивления j _x в данной работе предлагается записывать в виде 

       j _x = R _x / m = C _x0 ( M )  πd ² ρ v ² ⁄ 8 m .                     (14)

  Баллистической ракетой называется управляемый на активном участке снаряд, который приводится в движение двигателем твердого топлива (ДТТ) или жидкостно-реактивным двигателем (ЖРД).

    Система уравнений движения ОС (в том числе, баллистической ракеты) на активном участке может быть упрощена в связи с тем, что система управления ОС стабилизирует углы рыскания и крена, так что углы ψ и γ можно полагать малыми величинами.  

Программные (заданные) функции ψ_пр (t)  и γ_пр (t) в большинстве случаев полагают близкими к нулю:

 

                                       ψ_пр(t) = γ_пр (t) = 0.

 

     Угол тангажа θ(t) при стрельбе с ЛА (БЛА) системой стабилизации с максимальной точностью должен удовлетворять равенству:

       θ(t) = θ_пр (t), где θ_пр(t) -  программная (заданная) функция времени.

Причем при стрельбе с БЛА, как и с ЛА другого типа, для создания наиболее благоприятных условий для прицеливания по направлению целесообразно применять горизонтальный старт, когда                       

                               θ_пр(0) = 0.

 

      При таких допущениях отклонение траектории ракеты на активном участке от плоскости стрельбы мало, а сама траектория в первом приближении может приниматься за плоскую кривую.

           

5.4 Уравнения движения центра массы ОС (ракеты )

  Уравнения движения центра массы ракеты представляют собой второй закон Ньютона

 

              m v̅̇(t) = P̅(t)+R̅+R̅_гр +m (g̅- j̅_с  -j̅_ц) ,                 (15)

 

где  m - масса ракеты;

   v̅ - скорость ракеты относительно Земли;

  P̅(t) - тяга двигателя;

R̅_гр - сила, действующая на газовые рули;

    m g̅ - сила притяжения Земли;

   R̅ - аэродинамическая сила.

Векторы (- m j̅_с) и ( - m j̅_ц) являются кориолисовой и центробежной силами, обусловленными кориолисовым и переносным ускорениями.

   Левая часть формулы (15) равна произведению массы ракеты на ее ускорение. В правой части стоит сумма сил, действующих на ОС.

 

   Замечание. Для типичных конструкций баллистических ракет нормальные силы газовых рулей R̅_гр δ_в, R̅_гр δ_н считаются малыми (их величинами можно пренебречь).