П.2 Свойства определителей

1. При транспонировании матрицы величина определителя не меняется:

Это свойство устанавливает равноправность строк и столбцов, то есть любое утверждение, касающееся свойств определителя, справедливое для строк, будет справедливым и для столбцов.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный. Это свойство антисимметрии при перестановке двух строк (столбцов).

3. Определитель с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

Действительно, меняя местами равные строки, мы, с одной стороны, величины определителей не меняем, а с другой ( по 2-му свойству), его знак меняется на противоположный: ; 2 ;

4. Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя на число  равносильно умножению  на это число .

Иными словами: общий множитель всех элементов некоторой строки (или столбца) можно вынести за знак  (! Не путать с матрицей).

5. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то сам определитель равен нулю.

6. Если все соответствующие элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

Действительно, вынося коэффициенты пропорциональности на основании свойства 4 за знак определителя, получаем определитель с двумя равными строками (столбцами), который согласно свойству 3, равен нулю.

7. Добавление к одной строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определителя не меняет.

Замечание: При вычислении определителей используются формулы разложения по строке или столбцу и свойство 7. Особенно удобно использовать формулу разложения по тем строкам (столбцам), многие элементы которых, равны нулю.

Пример: вычислить определитель четвертого порядка

= =1 =

=8 =160 =800 =800

Сначала элементы четвертого столбца умножили на (-3) и прибавили к соответствующим элементам первого, затем разложили полученный определитель по элементам первого столбца. Получили определитель третьего порядка, элементы первого столбца которого умножаем на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам второго столбца. Полученный определитель раскладываем по элементам первой строки. Получаем определитель второго порядка. Из первого столбца выносим множитель 20, затем из первой строки – множитель 5.

Пример: вычислить определитель третьего порядка

= =-3 =0

Элементы второго столбец умножаем на (-2) и добавляем к третьему, затем из первого столбца выносим общий множитель (-1), а из третьего столбца – (3). Получили определитель с двумя равными столбцами, он равен нулю.