П.2 Основные операции над матрицами и их свойства

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Конспект лекций для студентов всех направлений подготовки бакалавров

 

 

 

Брянск 2015

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

БРЯНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ

АКАДЕМИЯ

(БГИТА)

 

                                                                            Утвержден

                                                                               научно-методическим советом

                                                                             БГИТА протокол № 6

                                                                              от 25.06.2015 г.

 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Конспект лекций для студентов всех направлений подготовки бакалавров

 

 

Брянск 2015

УДК 51

ББК 22.1

К 12

 

Баранова И.М. Линейная алгебра. Конспект лекций для студентов всех направлений подготовки бакалавров. – Брянск: БГИТА, 2015. – 33 с.

 

 

Рецензент: Евтюхов К.Н. – к.ф.-м.н., профессор кафедры «Физика»

 

 

Рассмотрены УМК МТФ

Протокол № 5 от 22.05.2015 г.

 

 

Содержание

 

                                                                                                              Стр.

ГЛАВА I МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ                                        6

 

§ 1 Матрицы и операции над ними                                                           6

п.1. Основные понятия                                                                              6

П.2 Основные операции над матрицами и их свойства                           7

 

§ 2 Определители                                                                                       9

П.1 Понятие определителя                                                                        9

П.2 Свойства определителей                                                                     10

 

§ 3 Понятие обратной матрицы                                                                12

 

§ 4 Ранг матрицы                                                                                       13

 

ГЛАВА II СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ                          14

 

§ 1 Основные понятия                                                                               14

 

§ 2 Методы решения систем линейных уравнений                                  15

П.1 Матричный метод                                                                               15

П.2 Метод Крамера                                                                                   15

П.3 Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)                                17

 

§ 3 Однородная система линейных уравнений                                        19

 

§ 4 Исследование системы m линейных уравнений с n неизвестными    21

 

ГЛАВА III ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ                                                                              23

 

§ 1. Линейные пространства                                                                     23

П.1 Основные понятия                                                                               23

П.2 Линейно независимые векторы                                                          24

П.3 Размерность и базис линейного пространства                                  24

 

§ 2 Линейные преобразования                                                                  25

П.1 Основные понятия                                                                               25

П.2 Матрица линейного преобразования                                                25

П.3 Характеристические числа и собственные векторы

линейного преобразования                                                                       27

 

§ 3 Евклидово пространство                                                                     28

§ 4 Ортогональный базис                                                                          29

 

§ 5 Квадратичные формы                                                                         30

 

 

ГЛАВА I МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Матрицы и операции над ними

П .1. Основные понятия

Определение: Назовём матрицей размерности  прямоугольную таблицу чисел, состоящую из m строк и n столбцов. Если m n , матрицу будем называть квадратной, а m n – её порядком.

Примем следующие обозначения:

= =

Определение:  Числа  назовём элементами матрицы. Первый индекс i указывает номер строки, а второй индекс j – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Определение: Для квадратной матрицы (m n) диагональ, идущую из левого верхнего угла в правый нижний назовём главной, а диагональ, идущую из левого нижнего угла в правый верхний – побочной.

В случае m 1 мы имеем матрицу, состоящую из одной строки ( ), которую будем называть матрицей-строкой.

При n=1 получим матрицу, состоящую из одного столбца, её будем называть матрицей-столбцом

Замечание: Вектор, при необходимости, можно трактовать и как матрицу-строку, и как матрицу-столбец

Определение: Любую матрицу, все элементы которой равны нулю, назовём нулевой

 

Определение: Квадратная матрица, у которой все элементы, нестоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной

 

D=

 

Определение: Если все элементы диагональной матрицы равны 1, то эта матрица называется единичной

 

 

Определение: Две матрицы одинаковой размерности ( ) назовём равными, если равны их элементы с одинаковыми индексами:

A =В, , i = 1,2…m , j = 1,2…n

Определение: Назовём матрицу  транспонированной относительно А, если элементы . Из определения следует, что  получается из А путём замены её строк на её же соответствующие столбцы:

А= =

 

Замечание: Если А – матрица-строка, то  - матрица-столбец и наоборот.

Определение: Квадратная матрица S называется симметричной (симметрической) , если она не меняется при транспонировании

У симметричной матрицы элементы, симметричные относительно главной, равны .

Определение: Квадратная матрица К называется кососимметрической, если при транспонировании она меняет свой знак: .

У кососимметрической матрицы на главной диагонали стоят нули, а элементы, симметричные относительно этой диагонали, отличаются только знаком:

 

П.2 Основные операции над матрицами и их свойства

 

а) Сложение матриц

Определение: Суммой матриц А и В одинаковой размерности назовём матрицу С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В:

С=А+В .

Операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел:

а) переместительным: А+В = В+А

б) сочетательным: (А+В)+С = А+(В+С)

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц

Замечание: А+О=О+А=А

б) Умножение матрицы на число

Определение: Назовём произведением матрицы А на число  матрицу В той же размерности, элементы которой .

Справедливы следующие операции умножения матрицы на число:

а) ( )А=

б) (А+В)=

в)

Замечание: Разностью двух матриц А-В одинаковой размерности ( ) называется матрица С той же размерности, которая в сумме с матрицей В дает матрицу А: С=А–В. Разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу

С=А+(-1) В

в) Перемножение матриц:

Определение: Произведением матрицы А ( m n )  на матрицу В ( n p ) назовём матрицу С ( m p ), элементы которой равны , то есть элемент , стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

Из определения следует, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.

Свойства произведения матриц:

а) сочетательное (А∙В)∙С=А∙(В∙С);

б) распределительное (А+В)С=А∙С+В∙С

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матрицы имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц А и В одинакового порядка. Но даже при выполнении указанного условия в общем случае это свойство не имеет место:

А= , В=

А∙В= = В∙А= =

Замечание:  АЕ=ЕА=А, АО=ОА=О (для единичной и нулевой матриц переместительное свойство справедливо, причем А, Е, О – квадратные матрицы одинакового порядка).                                                                                                        

Замечание: нулевая О и единичная Е матрицы играют в алгебре матриц роль, соответственно, нулевого и единичного элементов

 

Определители