Евклидово пространство
Определение. Линейное пространство R называется евклидовым, если имеется правило, которое позволяет для каждых двух векторов построить действительное число, называемое скалярным произведением векторов и и обозначаемое ( , причём это правило удовлетворяет следующим условиям: Если -скалярный квадрат. Определение: Длиной вектора в евклидовом пространстве называется квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора, то есть . Если - любое действительное число, а - любой вектор евклидова пространства, то . Определение: Вектор, длина которого равна 1, называется нормированным. Если - ненулевой вектор, то вектор - нормированный вектор или орт вектора . Для любых векторов и в евклидовом пространстве выполняется неравенство Коши-Буняковского: Из неравенства Коши-Буняковского следует, что: Угол , определяемый равенством и принадлежащий , называется углом между векторами и . Если и - ненулевые векторы, а , то . В этом случае говорят, что векторы и ортогональны. Для произвольных векторов и евклидова пространства имеют место следующие важные соотношения: 1. - неравенство треугольника. 2. Пусть - угол между векторами и , тогда (теорема косинусов). Если , то .
Ортогональный базис Определение: Базис евклидова пространства называется ортогональным, если при . Справедлива следующая теорема: во всяком евклидовом пространстве имеется ортогональный базис. Если ортогональный базис состоит из нормированных вектор, то этот базис называется ортонормированным. Для ортонормированного базиса выполняются равенства: . Любой вектор евклидова пространства, заданный в ортонормированном базисе, определяется равенством: . Длина вектора находится по формуле: Если , , то Два вектора и линейно зависимы (коллинеарны) тогда и только тогда, когда: . Условие ортогональности векторов и имеет вид: . Угол между двумя векторами и находится по формуле: . Квадратичные формы Определение: Квадратичной формой действительных переменных называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени. Если n=2, то квадратичная форма имеет вид: . Если количество переменных n=3, то:
В дальнейшем все необходимые формулировки и определения приведём к квадратичной форме 3-х переменных. Матрица , у которой называется матрицей квадратичной формы f( ), а соответствующий определитель – определителем этой квадратичной формы. Так как А – симметрическая матрица ( ), то корни характеристического уравнения: являются действительными числами. Пусть нормированные собственные векторы, соответствующие характеристическим числам в ортонормированном базисе . В свою очередь векторы также образуют ортонормированный базис. Матрица является матрицей перехода от базиса к базису . Формулы выражения старых координат через новые при переходе к новому ортонормированному базису имеют вид: . Преобразовав с помощью этих формул квадратичную форму , получаем квадратичную форму = , не содержащую членов с произведениями . Принято говорить, что квадратичная форма приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования В. Пример:Привести к каноническому виду квадратичную форму В этом примере a , , , характеристическое уравнение имеет вид: . , имеем . Получаем следующие характеристические числа . Для определения координат собственных векторов получаем системы линейных уравнений: 1) для
. Если , где с - любое число, то . Поэтому характеристическому числу соответствует семейство собственных векторов . 2) для . Если , где - любое число, то . Таким образом, характеристическому числу соответствует семейство собственных векторов Нормированные собственные векторы:
Матрица перехода к новому базису (матрица ортогонального преобразования) имеет вид: Формулы преобразования координат:
Баранова Ирина Михайловна
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Конспект лекций для студентов всех направлений подготовки бакалавров
Подписано в печать Формат 60х84 1/6 Объем 2 печ. л. Тираж экз. Заказ № ФГБОУ ВПО « Брянская государственная инженерно-технологическая академия» Ред. – изд. отдел, тел. 64-95-62 Подразделение ОП
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (195)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |