П.2 Матрица линейного преобразования

Пусть в n-мерном линейном пространстве R , базис которого , задано линейное преобразование А. Так как  - векторы пространства R, то каждый из них можно разложить единственным способом по векторам базиса:

Определение: Матрица  называется матрицей линейного преобразования А в базисе . Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах преобразования базисных векторов. Линейное преобразование А, имеющее невырожденную матрицу преобразования А, называется невырожденным.

Возьмём в пространстве R какой-нибудь вектор . Так как , то и вектор  можно разложить по векторам базиса:

=

Координаты  вектора  выражаются через координаты  вектора  по формулам:

Если , то , а .

Замечание. Эти n равенств можно назвать линейным преобразованием А в базисе . Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы А. Если линейным преобразованием Y = BX вектор переводится в Y, а преобразованием Z = AY вектор Y переводится в Z , то результат последовательного применения двух линейных преобразований B и А равносилен одному линейному преобразованию С с матрицей преобразования С=АВ; это преобразование переводит вектор Х в вектор Z.

Пример. В 4 -мерном линейном пространстве рассматривается линейное преобразование А. Записать это преобразование в координатной форме, если:

, , , .

Матрица преобразования имеет вид:

, следовательно, преобразование А в координатной форме записывается так: , , , .

П.3 Характеристические числа и собственные векторы линейного
преобразования

Пусть R – заданное n-мерное линейное пространство.

Определение: Ненулевой вектор  называется собственным вектором линейного преобразования А, если найдётся такое число , что выполняется равенство . Само число  называется характеристическим числом линейного преобразования А, соответствующим вектору .

Если линейное преобразование А в базисе  имеет матрицу

, то характеристическими числами линейного преобразования А служат действительные корни  уравнения n-степени, которое можно записать:

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть – характеристическим многочленом линейного преобразования А. Собственным вектором , соответствующим характеристическому числу , является любой вектор , координаты которого удовлетворяют системе линейных однородных уравнений:

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, определяемого уравнениями:

Матрица преобразования: , характеристическое уравнение имеет вид

,

Характеристические числа

Для определения координат собственных векторов получаем системы линейных уравнений:

1) для

. Если , где  - любое число, то . Поэтому характеристическому числу  соответствует семейство собственных векторов .

2) для

. Если , где  - любое число, то . Таким образом, характеристическому числу  соответствует семейство собственных векторов