Цель: Научить решать задачи на переливание жидкостей. Рассмотреть задачи на деление некоторого количества жидкости с помощью двух пустых дополнительных сосудов за наименьшее число переливаний. Рассмотреть задачи на получение некоторого количества жидкости из большого или бесконечного по объему сосуда, водоема или источника с помощью двух пустых сосудов (при переливании можно сливать жидкость в исходный сосуд или водоем)
1. Головоломка. Малоопытный водитель автофургона пытался проехать во двор через туннель, но неточно рассчитал его высоту. В результате машина оказалась заклиненной, да так, что не могла тронуться с места. Шофёр то заводил машину, то выключал двигатель, пытался двигаться вперёд, назад – всё было безрезультатно. Люди останавливались около машины, давали разные советы. Так продолжалось до тех пор, пока рядом не остановился легковая машина, из которой вышел водитель, и что-то тихо сказал малоопытному шофёру. Виновник беспорядка горячо поблагодарил за совет и быстро выполнил несложную работу. Затем без каких-либо препятствий проехал во двор. Какое действие выполнил шофёр? Ответ: Шофёр слегка выпустил воздух из колёс.
2. Решение задач по теме.
Методические указания "Решение задач на переливание"
В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что
- все сосуды без делений,
- нельзя переливать жидкости "на глаз"
- невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать
Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях.
1) знаем, что сосуд пуст,
2) знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,
3) в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились
4) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них
5) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде
Рассмотрим задачи.
1) Задача№1. Парное молоко
Бидон емкостью 10 л наполнен парным молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л молока в семилитровый бидон, используя при этом трехлитровый бидон.
Решение: Будем "шаги" переливаний записывать в виде строки из трех чисел.
При этом сосуды размещены слева направо по мере убывания их вместимости:
Шаги
Бидон
10 л
7 л
3 л
1-й
3
7
0
2-й
3
4
3
3-й
6
4
0
4-й
6
1
3
5-й
9
1
0
6-й
9
0
1
7-й
2
7
1
8-й
2
5
3
Задача №2. У подножья высокого тасхыла, на берегу тихой речки был небольшой аул. Жили в нем два брата-охотника. Старшего брата звали Каалка, младшего Копчон. Отправляет старший брат младшего за водой и дает ему два бурдюка, вместимостью 8л и 5л и просит принести ровно 7л воды. Сможет ли Копчон выполнить просьбу старшего брата?
Решение:
Ходы
1
2
3
4
5
6
7
8л
–
5
5
8
–
2
7
5л
5
–
5
2
2
5
–
Задача №3. Жила-была девушка по имени Абахай Пахта, что означает красавица: сорок кос на плечах, тридцать кос на спине расстилались, точно струйки родниковой воды. Два охотника – Хара Моос и Хара Торгы – решили счастье свое испытать, пошли к ней, чтобы в жены взять. Девушка хитрая была и сказала: “Тому я в жены достанусь, кто сможет кумыс из 12л бурдюка перелить поровну”, - и подает им еще два бурдюка вместимостью 5л и 8л. Смогут ли охотники справиться с нелегкой задачей?
Решение:
Ходы
1
2
3
4
5
6
7
8
12л
12
4
4
9
9
1
1
6
8л
0
8
3
3
0
8
6
6
5л
0
0
5
0
3
3
5
0
Задача №4. Когда-то давным-давно жил, говорят, один сказитель и хайджи по имени Агол. Его знали во всех ближних и дальних аулах, и всюду он был желанным гостем. Узнал народ, что приехал сказитель и к вечеру и стар и мал собирался послушать знаменитого Агола. Приехал как-то Агол к баю по имени Хырна и привез ему в подарок 8л араки (вино домашнее). Обрадовался Хырна-бай и крикнул “Это все мне”. Но Хайджи подал ему бурдюки вместимостью 5л и 3л и сказал отлить ровно 1л, а остальным вином угостить своих братьев. Смогут ли братья попробовать араки знаменитого сказителя?
Решение:
Ходы
1
2
3
4
5
6
8л
8
3
3
6
6
1
5л
0
5
2
2
0
5
3л
0
0
3
0
2
2
Задача №5. Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. Наибольший сосуд полон молока. Как разделить это молоко на две равные части, используя остальные сосуды?
Решение.
В таблице указан объем молока в литрах после каждого переливания.
8-литровый сосуд
5-литровый сосуд
3-литровый сосуд
8
0
0
3
5
0
3
2
3
6
2
0
6
0
2
1
5
2
1
4
3
4
4
0
После переливания, оказалось, по 4 л молока в 8-литровом и 5-литровом сосудах, а это и требовалось.
Задача №6. В бочке не менее 10 л бензина. Как отлить из неё 6 л с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?
Решение. В таблице указан объем бензина в литрах после каждого переливания.
бочка
ведро
бидон
не менее 10
0
0
не менее 5
0
5
не менее 5
5
0
не менее 0
5
5
не менее 0
9
1
не менее 9
0
1
не менее 9
1
0
не менее 4
1
5
не менее 4
6
0
3. Конкурс«А ну-ка Математики» Все учащиеся разбиваются на 2-3 команды.
Решение необходимо представить в виде таблицы переливаний
1) Две группы альпинистов готовятся к восхождению. Для приготовления еды они используют примусы, которые заправляют бензином. В альплагере имеется 10-литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в каждом?
2) Как разделить поровну между двумя семьями 12 литров хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: 8-литровым и 3-литровым? [1]
3) У Карлсона есть ведро варенья, оно вмещает 7 литров. У него есть 2 пустых ведерка - 4-литровое и 3-литровое. Помогите Карлсону отлить 1 литр варенья к чаю в меньшее (3-литровое) ведерко, оставив 6 литров в большом (7-литровом) ведре.
4) Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину - после Нового года. Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки - 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?
5) На другой год Винни Пух запасся 10 литрами меда. Под руками у него два ведра - 7-литровое и 4-литровое. Как ему разделить мед пополам?
6) (Пересыпашка) Разбойники раздобыли 10 унций (1 унция - примерно 30 см3) золотого песка. У них имеется две пустые коробки, емкостью 6 и 4 унции. Как им разделить песок пополам? Если на одно пересыпание требуется 1 минута, то сколько времени они будут делить свою добычу?
7) Некто имеет полный бочонок сока емкостью 12 пинт (пинта - 0,57 литра) и хочет подарить половину своему другу. Но у него нет сосуда в 6 пинт, а есть два сосуда в 8 пинт и 5 пинт. Каким образом можно налить 6 пинт в сосуд емкостью 8 пинт? [1]
8)Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась морозной и снежной, и Белоснежка не знает наверняка, сколько гномов решатся отправиться в далекое путешествие в гости, однако знает, что их будет не более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12 чашек, она наполнена водой, и две пустых - на 9 чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого количества гостей, если угощать каждого одной чашкой напитка?
9)Разрешима ли предыдущая задача, если в хозяйстве у Белоснежки имеются кастрюлька с водой на 12 чашек и пустые кастрюльки на 9 и 7 чашек?
10)Для путешествия по морю необходим запас пресной воды. В плавании вода расходуется со скоростью 1 бочка в сутки. В некоторый момент времени запас воды на берегу составлял 8 бочек, и вода находилась в баке, заполненном до краев. На яхте имеется такой же бак, объемом 8 бочек, но пустой. На сколько дней можно планировать путешествие, если с собой нельзя брать лишнюю воду, а в распоряжении имеется еще две пустых емкости объемом 3 и 6 бочек и их можно использовать для переливания воды?
Ответы:
1. Решение возможно за 3 хода.
N
Действие
А(10л)
Б(7л)
В(2л)
0
10
0
0
1
А-Б
3
7
0
2
Б-В
3
5
2
3
В-А
5
5
0
4
Б-В
5
3
2
5
В-А
7
3
0
6
Б-В
7
1
2
7
В-А
9
1
0
8
Б-В
9
0
1
9
А-Б
2
7
1
10
Б-В
2
6
2
11
В-А
4
6
0
12
Б-В
4
4
2
13
В-А
6
4
0
14
Б-В
6
2
2
15
В-А
8
2
0
16
Б-В
8
0
2
17
В-А
10
0
0
Возможно получение любого количества литров:
1 литр - за 6 ходов (по схеме), min - за 2
6 литров - за 3 хода
2 литра - за 1 ход
7 литров - за 1 ход
3 литра - за 1 ход
8 литров - за 1 ход
4 литра - за 4 хода
9 литров - за 7 ходов
5 литров - за 2 хода
2. Решение возможно за 4 хода.
N
Действие
А(12л)
Б(8л)
В(3л)
0
12
0
0
1
А-В
9
0
3
2
В-Б
9
3
0
3
А-В
6
3
3
4
В-Б
6
6
0
5
А-В
3
6
3
6
В-Б
3
8
1
7
Б-А
11
0
1
8
В-Б
11
1
0
9
А-В
8
1
3
10
В-Б
8
4
0
11
А-В
5
4
3
12
В-Б
5
7
0
13
А-В
2
7
3
14
В-Б
2
8
2
15
Б-А
10
0
2
16
В-Б
10
2
0
17
А-В
7
2
3
18
В-Б
7
5
0
19
А-В
4
5
3
20
В-Б
4
8
0
21
Б-А
12
0
0
1 литр - за 6 ходов (по схеме) min - за 2 хода
7 литров - за 3 хода
2 литра - за 4 хода
8 литров - за 1 ход
3 литра - за 1 ход
9 литров - за 1 ход
4 литра - за 1 ход
10 литров - за 5 ходов
5 литров - за 2 хода
11 литров - за 7 ходов
6 литров - за 3 хода
3. Решение возможно за 4 хода.
N
Действие
А(7л)
Б(4л)
В(3л)
0
7
0
0
1
А-Б
3
4
0
2
Б-В
3
1
3
3
В-А
6
1
0
4
Б-В
6
0
1
5
А-Б
2
4
1
6
Б-В
2
2
3
7
В-А
5
2
0
8
Б-В
5
0
2
9
А-Б
1
4
2
10
Б-В
1
3
3
11
В-А
4
3
0
12
Б-В
4
0
3
13
В-А
7
0
0
Возможно получение любого количества литров:
1 литр - за 2 хода
4 литра - за 1 ход
2 литра - за 4 хода
5 литров - за 5 ходов
3 литра - за 1 ход
6 литров - за 3 хода
4. Решение возможно за 5 ходов.
N
Действие
А(6л)
Б(5л)
В(1л)
0
6
0
0
1
А - Б
1
5
0
2
Б - В
1
4
1
3
В - А
2
4
0
4
Б - В
2
3
1
5
В - А
3
3
0
6
Б-В
3
2
1
7
В-А
4
2
0
8
Б-В
4
1
1
9
В-А
5
1
0
10
Б-В
5
0
1
11
В-А
6
0
0
Возможно получение любого количества литров:
1 литр - за 1 хода
4 литра - за 2 хода
2 литра - за 3 хода
5 литров - за 1 ход
3 литра - за 4 хода
5. Решение возможно за 8 ходов.
N
Действие
А(10л)
Б(7л)
В(4л)
0
10
0
0
1
А-В
6
0
4
2
В-Б
6
4
0
3
А-В
2
4
4
4
В-Б
2
7
1
5
Б-А
9
0
1
6
В-Б
9
1
0
7
А-В
5
1
4
8
В-Б
5
5
0
9
А-В
1
5
4
10
В-Б
1
7
2
11
Б-А
8
0
2
12
В-Б
8
2
0
13
А-В
4
2
4
14
В-Б
4
6
0
15
А-В
0
6
4
16
В-Б
0
7
3
17
Б-А
7
0
3
18
В-Б
7
3
0
19
А-Б
3
3
4
20
В-Б
3
7
0
21
Б-А
10
0
0
Возможно получение любого количества литров:
1 литр - за 4 хода
6 литров - ха 1 ход
2 литра - за 3 хода
7 литров - за 1 ход
3 литра - за 1 ход
8 литров - за 9 ходов
4 литра - за 1 ход
9 литров - за 5 ходов
5 литров - за 7 ходов
6. Разделить пополам 10 унций, т.е. получить 5 и 5 унций с помощью коробок в 6 и 4 унций невозможно, т.к. невозможно получить нечетные числа путем вычитания и прибавления четных чисел к четному числу. Возможны следующие действия:
N
Действие
А(10ун)
Б(6ун)
В(4ун)
0
10
0
0
1
А-Б
4
6
0
2
Б-В
4
2
4
3
В-А
8
2
0
4
Б-В
8
0
2
5
А-Б
2
6
2
6
Б-В
2
4
4
7
В-А
6
4
0
8
Б-В
6
0
4
9
В-А
10
0
0
Возможно получение четного количества унций:
2 унции - за 2 хода
6 унций - за 1 ход
4 унции- за 1 ход
8 унций - за 3 хода
7. Решение возможно за 7 ходов.
N
Действие
А(12п)
Б(8п)
В(5п)
0
12
0
0
1
А-Б
4
8
0
2
Б-В
4
3
5
3
В-А
9
3
0
4
Б-В
9
0
3
5
А-Б
1
8
3
6
Б-В
1
6
5
7
В-А
6
6
0
8
Б-В
6
1
5
9
В-А
11
1
0
10
Б-В
11
0
1
11
А-Б
3
8
1
12
Б-В
3
4
5
13
В-А
8
4
0
14
Б-В
8
0
4
15
А-В
0
8
4
16
Б-В
0
7
5
17
В-А
5
7
0
18
Б-В
5
2
5
19
В-А
10
2
0
20
Б-В
10
0
2
21
А-Б
2
8
2
22
Б-В
2
5
5
23
В-А
7
5
0
24
Б-В
7
0
5
25
В-А
12
0
0
Возможно получение любого количества пинт:
1 пинта - за 5 ходов
7 пинт - за 1 ход
2 пинты - за 3 хода
8 пинт - за 1 ход
3 пинты - за 2 хода
9 пинт - за 3 хода
4 пинты - за 1 ход
10 пинт - за 5 ходов
5 пинт - за 1 ход
11 пинт - за 9 ходов
6 пинт - за 6 ходов
8. Приготовить можно любое количество порций:
N
Действие
А(12ч)
Б(9ч)
В(5ч)
0
12
0
0
1
А-В
7
0
5
2
В-Б
7
5
0
3
А-В
2
5
5
4
В-Б
2
9
1
5
Б-А
11
0
1
6
В-Б
11
1
0
7
А-В
6
1
5
8
В-Б
6
6
0
9
А-В
1
6
5
10
Б-В
1
9
2
11
Б-А
10
0
2
12
В-Б
10
2
0
13
А-В
5
2
5
14
В-Б
5
7
0
15
А-В
0
7
5
16
В-Б
0
9
3
17
Б-А
9
0
3
18
В-Б
9
3
0
19
А-В
4
3
5
20
В-Б
4
8
0
21
А-В
0
8
4
22
Б-А
8
0
4
23
В-Б
8
4
0
24
А-В
3
4
5
25
В-Б
3
9
0
26
Б-А
12
0
0
1 чашка - за 4 хода
7 чашек - за 1 ход
2 чашки - за 3 хода
8 чашек - за 3 хода
3 чашки - за 1 ход
9 чашек - за 1 ход
4 чашки - за 2 хода
10 чашек - за 11 ходов
5 чашек- за 1 ход
11 чашек - за 5 ходов
6 чашек - за 7 ходов
9. Для указанных объемов кастрюлек невозможно отмерить 6 чашек, т.е. невозможно разделить воду пополам.
N
Действие
А(12ч)
Б(9ч)
В(7ч)
0
12
0
0
1
А-Б
3
9
0
2
Б-В
3
2
7
3
В-А
10
2
0
4
Б-В
10
0
2
5
А-Б
1
9
2
6
Б-В
1
4
7
7
В-А
8
4
0
8
Б-В
8
0
4
9
А-Б
0
8
4
10
В-А
4
8
0
11
Б-В
4
1
7
12
В-А
11
1
0
13
Б-В
11
0
1
14
А-Б
2
9
1
15
Б-В
2
3
7
16
В-А
9
3
0
17
Б-В
9
0
3
18
А-Б
0
9
3
19
Б-В
0
5
7
20
В-А
7
5
0
21
Б-В
7
0
5
22
А-Б
0
7
5
23
В-А
5
7
0
24
Б-В
5
0
7
25
В-А
12
0
0
Возможно получение любого количества чашек кроме 6:
1 чашка - за 5 ходов
7 чашек - за 1 ход
2 чашки - за 2 хода
8 чашек - за 7 ходов
3 чашки - за 1 ход
9 чашек - за 1 ход
4 чашки - за 6 ходов
10 чашек - за 3 хода
5 чашек - за 1 ход
11 чашек - за 12 ходов
10. Путешествие может планироваться на 2, 3, 5 или 6 дней.
N
Действие
А(8б)
Б(6б)
В(3б)
0
8
0
0
1
А-Б
2
6
0
2
Б-В
2
3
3
3
В-А
5
3
0
4
Б-В
5
0
3
5
В-А
8
0
0
Возможно получение следующего запаса воды:
2 бочки - за 1 ход
5 бочек - за 1 ход
3 бочки - за 1 ход
6 бочек - за 1 ход
4. Задачи по теме на переливание из бесконечного по объёму сосуда.
1) Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана?
2) Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?
3) В походе приготовили ведро компота. Как, имея банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот порциями по 300 г?
4) Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?
5) Как решить предыдущую задачу, если на экспертизу необходимо доставить 5 литров нефти, а емкости сосудов составляют соответственно 7 литров и 3 литра?
Как с помощью двух бидонов емкостью 17 литров и 5 литров отлить из молочной цистерны 13 литров молока?
6) Современный вариант старинной задачи.
К продавцу, стоящему у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две емкости в 3 л и 5 л, и поэтому он не может выполнить их просьбу. Приятели продолжают настаивать и дают продавцу 100 рублей (сумма зависит от финансово-экономической ситуации в стране и соответственно варьируется) с одним условием, что они получат свои порции одновременно. После некоторого размышления продавец сумел это сделать. Каким образом?
Решения. Для решения приведенных задач требуется 4, 6, 8 и более ходов.
Приведем решения без полного возможного набора ходов. Объем жидкости в условном сосуде А будет соответствовать объему слитой жидкости, объемы Б и В - заданным объемам по условию задачи. Действие, обозначенное одной буквой, например, Б, означает наполнение сосуда из источника (водоема, исходного сосуда).
1. Задача имеет решение за 4 хода.
N
Действие
А
Б(9л)
В(5л)
0
0
0
1
В
0
0
5
2
В-Б
0
5
0
3
В
0
5
5
4
В-Б
0
9
1
2. Задача решается за 6 ходов. Лишнюю воду сливаем в водоем.
N
Действие
А
Б(5л)
В(3л)
0
0
0
1
Б
0
5
0
2
Б-В
0
2
3
3
В-А
3
2
0
4
Б-В
3
0
2
5
Б
3
5
2
6
Б-В
3
4
3
3. Для решения требуется 8 ходов. Компот сливаем в ведро.
N
Действие
А
Б(900г)
В(500г)
0
0
0
1
Б
0
900
0
2
Б-В
0
400
500
3
В-А
500
400
0
4
Б-В
500
0
400
5
Б
500
900
400
6
Б-В
500
800
500
7
В-А
1000
800
0
8
Б-В
1000
300
500
4. Решение достигается за 8 ходов. Нефть из сосуда В два раза выливается.
N
Действие
А
Б(9л)
В(4л)
0
0
0
1
Б
0
9
0
2
Б-В
0
5
4
3
В-А
4
5
0
4
Б-В
4
1
4
5
В-А
8
1
0
6
Б-В
8
0
1
7
Б
8
9
1
8
Б-В
8
6
4
5. Задача также решается за 8 ходов, аналогично предыдущей.
N
Действие
А
Б(7л)
В(3л)
0
0
0
1
Б
0
7
0
2
Б-В
0
4
3
3
В-А
3
4
0
4
Б-В
3
1
3
5
В-А
6
1
0
6
Б-В
6
0
1
7
Б
6
7
1
8
Б-В
6
5
3
6. Задача имеет решение за 14 переливаний. Молоко из 17-литрового бидона сливается в цистерну.
N
Действие
А
Б(17л)
В(5л)
0
0
0
1
В
0
0
5
2
В-Б
0
5
0
3
В
0
5
5
4
В-Б
0
10
0
5
В
0
10
5
6
В-Б
0
15
0
7
В
0
15
5
8
В-Б
0
17
3
9
Б-А
17
0
3
10
В-Б
17
3
0
11
В
17
3
5
12
В-Б
17
8
0
13
В
17
8
5
14
В-Б
17
13
0
Можно дать достаточно короткое словесное решение задачи: с помощью 5-литрового бидона налить в 17-литровый бидон 15 литров молока. Затем, наполнив еще раз 5-литровый бидон, налить недостающие 2 литра в больший бидон. Тогда в 5-литровом бидоне останется 3 литра молока. Вылив 17 литров молока обратно в цистерну, налить эти 3 литра молока в 17-литровый бидон. Остается добавить туда еще 10 литров молока.
7. Секрет задачи в том, что предложенная сумма, по-видимому, превышает стоимость всего кваса в бочке, а это значит, что в некоторый момент продавец имеет возможность вылить остатки кваса из бочки и использовать ее как дополнительную емкость. Для определения того, в какой момент надо выливать квас из бочки, надо обратиться к предлагаемой в [2] модели решения задачи, аналогии с движением шарика и начертить эту схему. Из нее следует, что для решения задачи мы должны получить 7 литров. А задача получается комбинированной: сначала надо решить задачу II типа, а потом вариант I-го типа.
Сначала получим 7 литров с помощью 5 и 3-литровых сосудов:
N
Действие
А
Б(5л)
В(3л)
0
0
0
1
Б
0
5
0
2
Б-В
0
2
3
3
В-А
3
2
0
4
Б-В
3
0
2
5
Б
3
5
2
Далее сливаем квас из бочки и переливаем в нее 7 литров из емкостей. Теперь решаем задачу по типу I:
N
Действие
А(7л)
Б(5л)
В(3л)
0
7
0
0
1
А-В
4
0
3
2
В-Б
4
3
0
3
А-В
1
3
3
4
В-Б
1
5
1
Так как приятели должны получить порции по 1 л одновременно из сосудов Б и В, придется Б освободить и перелить 1 л из бочки.
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...
2019-11-13
322
Обсуждений (0)
