Уравнения длинных линий

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по курсу «Электронные цепи СВЧ»

Киев 2005

Содержание

1. Цепи с распределенными параметрами при гармоническом воздействии. 3

1.1. Длинные линии. 3

1.2. Уравнения длинных линий. 4

1.3. Решение уравнений длинных линий. 5

1.4. Входное сопротивление линии. 7

1.5. Волновые процессы в линиях передачи. 9

1.6. Согласование линии передачи. 11

1.7. Условие неискажающей передачи линии. 12

1.8. Волновые матрицы. 13

1.9. Условия нормирования волновых матриц. 15

2. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами. 18

2.1. Уравнение длинной линии во временной области. 18

2.2. Уравнение однородной неискажающей линии в операторной форме. 18

2.3. Решение уравнений однородной неискажающей линии в операторной форме. 19

2.4. Волновые процессы в линии при импульсном воздействии. 20

3. Многополюсники на СВЧ. 21

3.1. Матричное описание распределенных цепей (классическая теория) 21

3.2. Волновые параметры четырехполюсника. 21

3.3. Расчет схемных функций. 22

3.4. Связь между системами параметров. 23

3.5. Условия нормирования волновых матриц. 23

3.6. Шумовые характеристики четырехполюсника. 24

3.7. Волновые шумовые параметры. 25

4. Модели компонентов цепей СВЧ. 27

4.1. Особенности схемных моделей активных компонентов на СВЧ. 27

4.2. Анализ физических процессов в субмикронном ПТШ. 27

4.3. Схемная модель субмикронного полевого транзистора. 28

4.4. Расчет малосигнальных (динамических) крутизны и выходной проводимости. 28

4.5. Расчет малосигнальных входной и проходной емкостей, параметров домена. 29

4.6. Особенности конструкции ПТШ. 30

4.7. Расчет паразитных параметров субмикронного ПТШ. 31

4.8. Линии передачи ИС СВЧ. 32

4.9. Индуктивные элементы ИС СВЧ. 33

4.10.     Емкостные элементы ИС СВЧ. 34

4.11.     Резистивные элементы ИС СВЧ. 35

4.12.     Неоднородности в ИС СВЧ. 35

4.13.     Резонаторы. 36

4.14.     Фильтры ИС СВЧ. 38

5. Малошумящие цепи СВЧ. 40

5.1. Источники шума в субмикронных ПТШ. 40

5.2. Шумовая схемная модель ПТШ.. 40

5.3. Минимальный коэффициент шума. 41

5.4. Расчет коэффициента усиления по мощности и коэффициента устойчивости 42

5.5. Анализ неоднородностей субмикронных полевых структур. 42

5.6. Уравнения для учета распределенных эффектов в полевых структурах. 43

5.7. Решение уравнений распределенной модели ПТШ.. 43

5.8. Уравнения и матрица проводимости затворной линии. 44

6. Генераторы СВЧ. 45

6.1. Транзисторные генераторы СВЧ колебаний. 45

6.2. Генераторы СВЧ на GaAs ПТШ.. 45

6.3. Автогенераторы СВЧ на туннельных диодах. 47

6.4. Трехточечные схемы автогенераторов на туннельных диодах. 48

Цепи с распределенными параметрами при гармоническом воздействии

Длинные линии

           Длинными линиями называют такие линии, геометрическая длина которых больше рабочей длины волны электромагнитных колебаний или соизмерима с ней. Отношение геометрической длины линии к длине рабочей волны называют электрической длины линии. В линиях, в длину которых укладывается одна или несколько длин волн в один и тот же момент ток в проводах линии и напряжение между ними могут иметь не только различную величину, но и напряжение, вследствие этого свойства линии зависят от длины, условий на конце линии (режима холостого хода или короткого замыкания) и характера нагрузки.

           Таким образом длинные линии можно рассматривать как цепи с распределенными параметрами. Цепи с распределенными параметрами в отличие от цепей с сосредоточенными параметрами, характеризуются волновыми процессами; при этом величины их описывающие (например, волны тока и напряжения) являются в общем случае функциями времени и пространственных координат.

           Различают цепи с объемно-распределенными параметрами, когда все три линейных размера их элементов сравнимы с длиной волны, и линейно-распределенные цепи, в которых только один из линейных размеров сравним с длиной волны, а два остальных существенно меньше ее. Характерными примерами с объемно-распределенных цепей являются волноводы, резонаторы и подобные им элементы техники СВЧ. К классу линейно-распределенных цепей можно отнести двухпроводную и коаксиальную линии, а также такие элементы интегральной техники СВЧ как микрополосковая, копланарная и щелевая линии.

           Свойства длинной линии зависят от ее поперечных размеров, пренебрежимо малых в сравнении с длиной волны и свойств среды (диэлектрического заполнения). На рис.1.1 приведены двухпроводная (а) и коаксиальная (б) линии передачи с воздушным заполнением и геометрические размеры, определяющие их свойства.

           К линиям, используемым для передачи электромагнитной энергии, предъявляется требование передачи максимальной мощности от источника к нагрузке, при этом вход и выход линии должны быть согласованы. Кроме того, линии должны обеспечивать пропускание достаточно широкого спектра частот для неискажающей передачи импульсных сигналов и иметь при данной передаваемой мощности и частоте минимальные размеры. В общем случае функциональные возможности отрезков линии передачи шире чем передача сигнала от источника к нагрузке. Как будет показано, при некоторых условиях отрезки линии могут рассматриваться как реактивные элементы (индуктивности и емкости), колебательные контуры, частотные фильтры и трансформаторы.

           В распределенной линии электрическое и магнитное поля распределены по всей длине линии и потери электромагнитной энергии происходят также по всей длине линии ( в виде тепла, излучения, потерь в диэлектрике).

           В дальнейшем будем рассматривать линейные изотропные среды, свойства которых не зависят от интенсивности поля (линейность), и от направления вектора напряженности электрического и магнитного полей (изотропность).

           Процесс передачи электромагнитной энергии вдоль проводов линии подобен волновым процессам распространения этой энергии в свободном пространстве, но осуществляется вдоль проводов линии, которые для волн могут рассматриваться как направляющие. Поэтому перенос энергии в линиях передачи можно рассматривать как волновой и описывать как на основе уравнений Максвелла, используя термин напряженностей электрического и магнитного полей, так и на основе уравнений теории цепей, используя понятия волн тока и напряжения.

           Во втором случае схемная модель отрезка длинной линии может быть представлена соединением звеньев с сосредоточенными компонентами (рис.1.2), описываемыми погонными параметрами, отнесенными к единице длины: индуктивностью  и диссипативным сопротивлением проводов , емкостью  и диссипативной проводимостью утечки  между проводами.

 

 

           Рис. 1.1 Двухпроводная (а) и коаксиальная (б) линии передачи.    

 

 

           Рис. 1.2 Схемная модель длинной линии.

 

           Если погонные параметры вдоль линии не изменяются, то такую линию называют однородной.

           Неоднородность в линии может возникать, например, при изменении ее поперечных размеров или свойств среды, а также при соединении двух линий с различными поперечными размерами.

           В случае гармонических колебаний полное погонное сопротивление линии запишется как , а полная погонная проводимость . В произвольных сечениях однородной линии отношение напряжения к току есть величина постоянная и равная волновому сопротивлению.

           Определим волновое сопротивление через погонные параметры линии рассматривая входное сопротивление дифференциального отрезка линии, нагруженного на сопротивление  (рис. 1.3).

 

 

           Рис.1.3 К определению волнового сопротивления линии.

 

           Входное сопротивление при последовательно-параллельном соединении элементов запишется:

          

При ,  – бесконечно малая величина второго порядка малости и ею можно пренебречь.

          

           Выражая , получим формулу для волнового сопротивления:

          

           Так как при гармоническом воздействии полное комплексное сопротивление линии может быть записано как , а полная комплексная проводимость , то волновое сопротивление через погонные параметры линии определится как:

          

 

Уравнения длинных линий

           При произвольном воздействии токи и напряжения в линии являются как функциями времени , так и одной из координат , если рассматривать длинную линию как линейно-распределенную систему. Эти процессы описываются уравнениями в частных производных (с частными производными по переменным и : .

           В режиме установившихся гармонических колебаний в линии комплексы тока и напряжения и их производные будут функциями только пространственной координаты ( ).

           В бесконечно малом отрезке линии длиной  распределенные эффекты не проявляются (заведомо выполняется условие ) и для него справедливы законы Ома и Кирхгофа, как для цепей с сосредоточенными параметрами, поэтому напряжения и токи на отрезке (рис. 1.4) выражаются соотношениями:

          

Слагаемое  во втором уравнении является бесконечно малой величиной второго порядка малости и ею можно пренебречь. Тогда первое и второе телеграфные уравнения, описывающие изменение амплитуды и фазы гармонических колебаний вдоль линии запишутся:

                                                                                             (1.1)

или:

          

           Для решения уравнений (1.1) необходимо разделить переменные. Продифференценцируем телеграфные уравнения по пространственной координате :

           .

Подставив в эти уравнения значения первых производных из (1.1), получим:

          

           Если обозначить переменной  коэффициенты при напряжении и токе в правых частях уравнений, получим систему волновых уравнений, представляющих собой дифференциальные уравнения второго порядка:

          

           Здесь  – комплексная постоянная распространения волн тока и напряжения, характеризующая изменение амплитуды и фазы бегущей волны (волны, распространяющейся без отражений в бесконечной линии).

           Коэффициент затухания  определяет уменьшение амплитуды электромагнитной волны при прохождении одного метра пути. Коэффициент фазы или волновое число  показывает изменение фазы при прохождении одного метра пути. Комплексная постоянная распространения через параметры отрезка линии вычисляется по следующему соотношению:

          

           В случае линии без потерь ( ),  является чисто комплексной величиной . Кроме того, в линии без потерь длина волны связана с коэффициентом фазы соотношением: .

           В реальных линиях передачи существует затухание, связанное с потерями в металлических проводниках , потерями в диэлектрике  и потерями на излучение . В этом случае коэффициент затухания определится по формуле: . Для характеристики потерь в диэлектрике используют тангенс угла диэлектрических потерь ( ). Для идеального диэлектрика (вакуум) . На практике используют диэлектрики с малыми потерями ( ) – термопласт, керамику, полиэтилен и др. Материалы. Такие диэлектрики являются слабо диспергирующими средами, так как их диэлектрическая проницаемость  слабо зависит от частоты. Так как токи СВЧ связаны с поверхностью металлов (поверхностный или скин-эффект), то глубина проникновения электромагнитного поля выражается через коэффициент потерь в проводниках соотношением . Поверхностное сопротивление металлического проводника с учетом скин-эффекта определяется соотношением:

          

где  – частота,  – абсолютная магнитная проницаемость,  – удельная электропроводность. Таким образом, полное комплексное сопротивление отрезка линии  преимущественно связано с геометрическими физическими параметрами проводников линии, а полная комплексная проводимость  – с аналогичными параметрами диэлектрика.

 

 

           Рис.1.4 Дифференциальный отрезок длинной линии