Линейные операции над матрицами.

МАТЕМАТИКА

 

ЮНИТА № 1

 

Матрицы и определители.

 

Рудный 2005

 ББК 22.1я73

Авторы : О.Е.Дейвальт

Рецензент: Т.А.Калдыбиев

Рекомендовано к изданию УМС РИИ

 

Курс: Математика. Базовый курс.

Юнита 1. Матрицы и определители

Юнита 2 Системы линейных уравнений

Юнита 3 Векторная алгебра

Юнита 4 Аналитическая геометрия на плоскости

Юнита 5 Аналитическая геометрия в пространстве

Юнита 6 Предел функции и непрерывность

Юнита 7 Дифференцирование

Юнита 8   Исследование функций и построение графиков

Юнита 9 Неопределенный интеграл.

Юнита 10  Определенный интеграл

Юнита 11 Дифференциальное исчисление функции многих      переменных.

Юнита 12 Диффференциальные уравнения (1 и высших порядков) Юнита 13 Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Юнита 14 Числовые и функциональные ряды

Юнита 15 Ряды Фурье

Юнита 16 Кратные интегралы

Юнита 17 Криволинейные интегралы

Юнита 18 Линейное программирование

Юнита 19 Теория вероятностей

Юнита 20  Математическая статистика                                         

 

ЮНИТА 1

В данном учебном пособии содержится материал, включающий понятия матриц, определителей, их основных свойств, понятие обратной матрицы. Комплектуется файлом материалов.

 

Для студентов технических специальностей: 050707, 050709, 050726, 050730, 050729, 050724, 050713, 050718, 050702, 050731, 050901, 050703.

Для студентов экономических специальностей: 050506, 050511

Юнита соответствует типовой образовательной программе      

 

Для внутривузовского использования

© Рудненский индустриальный институт 2005

Содержание

 

Тематический план………………………………………………………..4

Литература…………………………………………………………………5

Тематический обзор……………………………………………………….6

Глава 1. Матрицы………………………………………………………….7

§1. Основные определения………………………………………………..7

§2. Линейные операции над матрицами…...……………………………..8

§3. Умножение матриц………….…………………………………………8

Глава 2. Определители……………………………………………………10

§1. Определители второго и более высоких порядков……………………………………………………………………10

§2. Свойства определителей………………………………………………12

Глава 3. Обратная матрица. Существование и структура обратной матрицы…………………………………………………………………….13

Файл материалов….………………………………………………………16

Перечень умений…………………………………………………………...21

Тренинг умений…………………………………………………………….23

Задания для самостоятельной работы……………………………………………………………………….30

Глоссарий

Тематический план

 

Матрицы, действия над матрицами (сложение, умножение на число, умножение матриц).

Определители 2^го и 3^го порядков.

Правило Саррюса (треугольника).

Свойства определителей. Обратная матрица.

Литература

Основная

 

1. И.В. Виленкин, В.М. Гробер Высшая математика. Ростон-на-Дону, 2002

2. В.Е. Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов Краткий курс высшей математики. Т. 1, М. 1978

 

Дополнительная

 

3. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. М. 1980

Тематический обзор

 

       Широкое применение математических методов в самых различных областях науки, техники, экономики и практической деятельности инженеров предъявляет повышенные требования к изучению математических приемов. Особенно важны методы и приемы линейной алгебры, наиболее простые и важные из которых рассматриваются в этом курсе.

В задачи нашего курса входит ознакомление с действиями над матрицами, изучение вычисления определителей, нахождения обратной матрицы.

Глава 1. Матрицы

Основные определения.

 

МАТРИЦЕЙ размера m ^. n называется прямоугольная таблица чисел

 

,

 

содержащая m строк и n столбцов. Каждый элемент матрицы а _ik  имеет два индекса: i – номер строки и k – номер столбца. Краткая форма записи матрицы:

 

А = (а _ik)_m,n

 

       Матрица называется КВАДРАТНОЙ порядка n, если она состоит из n строк, и n столбцов.

       Матрица размера 1 ^. n называется МАТРИЦЕЙ-СТРОКОЙ, а матрица размера m^.1 - МАТРИЦЕЙ-СТОЛБЦОМ.

       НУЛЕВОЙ матрицей заданного размера называется матрица, все элементы которой равны нулю.

ТРЕУГОЛЬНОЙ матрицей n-го порядка называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:

 

.

 

ЕДИНИЧНОЙ называется квадратная матрица n-го порядка, у которой элементы главной диагонали равны единице, а в се остальные элементы – нули:

 

.

 

Матрицы А = (а _ik)_m,n и В = (в _ik)_m,n  называются РАВНЫМИ, если а _ik = в _ik i = 1,…,m

k = 1,…,n.

 

 

Линейные операции над матрицами.

СУММОЙ матриц А = (а _ik)_m,n и В = (в _ik)_m,n  называются матрица А + В = (а _ik + в _ik)_m,n.

ПРОИЗВЕДЕНИЕМ матрицы А = (а _ik)_m,n на число l называется матрица lА = (lа _ik)_m,n.

Для любых матриц одинакового размера и любых чисел l и m выполняются свойства:

1) А + В = В +А                          2) А + (В + С) = (А + В) + С

3) А + 0 = А                                 4) l(mА) = (lm)А

5) l(А + В) = lА + lВ                6) (l + m)А = lА + mА

Докажем свойство 5):

l(А + В) = (l(а _ik + в _ik)) _m,n = (lа _ik +lв _ik) _{m,n =} (lа _ik)_m,n + lв _ik) _m,n = lА + lВ

Доказательство Остальных свойств читатель проведет самостоятельно.

ТРАНСПОНИРОВАННОЙ для матрицы А называется матрица А^Т, строки которой являются столбцами матрицы А, а столбцы – строками матрицы А.

 

ПРИМЕР 1. Даны матрицы

 

и

 

Построить матрицу С = 2А – 3В + А^Т.

 

РЕШЕНИЕ.

 

- +

 

+ = .

 

 

Умножение матриц.

 

 

ПРОИЗВЕДЕНИЕМ матрицы А = (а _ik)_m,р на матрицу В = (в _ik)_р,n  называется матрица D размера m^. n с элементами

 

 

Иными словами, для получения элемента, стоящего в i-ой строке результирующей матрицы и в k-ом ее столбце, следует вычислить сумму попарных произведений элементов i-ой строки матрицы А на k-ый столбец матрицы В.

ПРИМЕР 2. Найти произведение матрицы

 

 на матрицу .

 

РЕШЕНИЕ.

 

т.е. .

 

В самом определении произведения матриц заложено, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Это – условие согласования матриц при умножении. Если оно нарушено, матрицы перемножить нельзя. Поэтому возможна ситуация, когда произведение А*В существует, а произведение В*А – нет. Кроме того, когда существуют оба произведения, то чаще всего они не совпадают, т.е. в большинстве случаев произведение матриц некоммутативно: А*В¹В*А. Если А, В, С – квадратные матрицы одинакового порядка и Е – единичная матрица того же размера, то справедливы тождества:

 

 

 

Свойство 1) оставим без доказательства ввиду его громоздкости.

Докажем 2):

 

 

       Свойство 3) доказывается аналогично, а 4) следует из определения умножения матриц.

Глава 2. Определители