Нормализатор множества в группе. Центр группы

п.1 . В отличие от смежных классов. Классы сопряженных элементов не все равномощны. При вычисление их мощностей решающую роль играет понятие нормализатора.

Пусть M – подмножество, H –подгруппа группы G . Нормализатором множества M в подгруппе H называется множество:

N_H(M)= ,

которое, как легко проверить, является подгруппой в H. Если не указано, в какой подгруппе H берется нормализатор, то это означает, что он берется во всей группе G. Очевидно, подгруппа тогда и только тогда нормальна в группе, когда её нормализатор совпадает со всей группой.

Теорема 1.4.1. Если M – подмножество, H – подгруппа группы G, то мощность класса подмножеств, сопряженных с M элементами из H, равна индексу  В частности,

.

Доказательство. Отобразим множества M^x, x Î H, на правые смежные классы группы H по подгруппе N = N_H(M), полагая

(M^x)^φ = Nx для xÎH .

Отображение φ однозначно, так как из M^x = M^y следует Nx = Ny . Отображение φ переводит разные элементы в разные , так как из Nx = Ny следует M^x = M^y. Наконец, φ – отображение на, так как каждое Nx имеет прообраз M^x. ■

Пусть M – подмножество, H – подгруппа группы G. Мы назвали нормализатором M в H совокупность тех элементов из H, которые перестановочны с множеством M в целом. Можно рассмотреть также множество тех элементов из H, которые перестановочны с M поэлементно, то есть

C_H(M)= .

Это множество называется централизатором множества M в подгруппе H. Если M состоит из одного элемента, то, конечно, его нормализатор и централизатор в H совпадают. Если не указано, в какой подгруппе H берется централизатор, то это означает, что он берется во всей группе G.

Централизатор всей группы G называется её центром и обозначается Z(G),

Z(G)= .

Очевидно, что группа тогда и только тогда абелева, если она совпадает со своим центром. Ясно, что единица е всегда лежит в центре. Если других центральных элементов группа не содержит, то она называется группа с тривиальным центром. Заметим ещё, что любая подгруппа центра нормальна в группе.

Теорема 1.4.2. Пусть , где p – простое число. Тогда центр Z(G) группы G нетривиальный, то есть содержит неединичные элементы.

Доказательство. Ранее было показано (см.  3), что любая группа G разбивается на не пересекающие классы сопряженных элементов. Среди классов будут одноэлементные образованные элементами центра, причем их число неравно нулю, так как единица е группы G образуют одноэлементный класс.

Пусть число элементов центра равно t. Все элементы, не принадлежащие центру Z(G), порождают классы сопряженных элементов. Обозначим    , классы сопряженных элементов содержащие более одного элемента. Число элементов в каждом таком классе есть индекс централизатора любого элемента класса (по теореме 1.4.1. учитывая, что нормализатор и централизатора одного элемента совпадают):

.

Следовательно, по теореме Лагранжа , где .

Тогда , из этого равенства следует, что t делиться на p и так как , то  таким образом централизатор Z(G) группы G нетривиален. ■

Далее докажем одно несложное утверждение которое понадобиться в дальнейшем.

Предложение 1.4.3. Фактор группа некоммутативной группы G по её центру Z(G) не может быть циклической.

Доказательство (от противного). Действительно, если G / Z(G) циклическая, то в смежном классе по Z являющимися образующим элементом этой циклической группы. Выберем некоторый элемент а. Подгруппа, порождающая этим элементом вместе с элементами из Z(G) совпадает со всей группой G. Из перестановочности между собой названных элементов следует коммутативность самой группы G –противоречие с условием. ■

Из доказанной выше теоремы 1.4.2 и предложения 1.4.3 вытекает следующее утверждение.

Теорема 1.4.4. Любая группа G порядка p², где p – простое число, коммутативна.

Доказательство(от противного). Пусть G – не коммутативная группа, так как G является p -группой (конечная группа P является p -группой, если ), то её центр не единичен, то есть . Рассмотрим G / Z(G). Порядок G / Z(G) равен p по теореме Лагранжа, следовательно, G / Z ( G ) – циклическая (см. следствие 2 теоремы Лагранжа) – противоречие с предложением 1.4.3. Таким образом G – коммутативна. ■

п.2. Рассмотрим конструкцию, позволяющую по заданным группам строить новые группы. Одна из самых простых, но важных конструкций состоит в следующем.

Пусть A , B – группы, легко проверить, что множество  всех упорядоченных пар (a , b)где ,  с бинарной операцией  является группой. Она называется прямым произведением (внешним) групп A и B . При аддитивной записи групп, естественно говорить о прямой сумме .

Теорема 1.4.5. Пусть G – группа с нормальными подгруппами A и B. Если  и AB = G, то .

Доказательство .Из равенства AB = G следует, что любой элемент  записывается в виде g = ab, где . Пусть ещё G = a₁b₁, . Тогда ,  и . Следовательно,  и мы пришли к выводу, что запись  однозначна.

Далее, так как  то коммутатор ; так как , то , то есть, получаем  и, стало быть .

Определим теперь отображение φ из . Полагая  для любого . Проверим закон сохранения операции. Согласно выше сказанному:

Это отображение является сюрьективным, ибо G = AB. Более того, отображение φ является взаимно однозначным так как если ab = a₁b₁ при ,  то, как это мы показали, выше a₁= a , b₁= b и, следовательно,  таким образом φ – удовлетворяет всем свойствам изоморфного отображения групп. ■

Группу G, удовлетворяющую условиям теоремы 1.4.5 принято называть (внутренним) прямым произведением своих подгрупп A , B. Отличие от внешнего прямого произведения состоит в том, что G содержит в качестве прямых множителей сами группы A , B, а не просто их изоморфные копии , .

Последние определение прямого произведения (внутреннего). Можно заменить следующим ему эквивалентным. Группа G есть прямое произведение своих подгрупп , если

1) Элементы из любых двух подгрупп H_i и H_j, , перестановочны между собой.

2) Всякий элемент g и G однозначно записываются в виде произведения

где ,