Вторая и третья теорема Силова

Максимальная по вложению p-подгруппа конечной группы G называется силовской p -подгруппой группы G. Из доказанной теоремы вытекает в частности, что силовские p-подгруппы конечной группы, это в точности подгруппы порядка p^t где p^t – максимальная степень p делящий порядок группы.

Теорема 2.2.1. (вторая теорема Силова)

(Сопряженность) Все силовские p – подгруппы группы G сопряжены.

Доказательство.Пусть P – силовская подгруппа, если , где НОД( p , m )=1, то . Пусть, Δ как и раньше класс подгрупп, сопряженных с P элементами из G. Покажем, что если Q симметрическая p – подгруппа, то Q ÎΔ. Из теоремы 1.4.1. имеем

Δ = .

По теореме Лагранжа, получаем

Δ Δ Δ , НОД( Δ , p ), откуда Δ и, следовательно, разобьем Δ на подклассы подгрупп сопряженных между собой элементами из Q: Δ=Δ₁È∆₂… È∆_k

Если подгруппа S ÎΔ_i, то Δ , .

Следовательно,  Δ .

Отсюда так какНОД( Δ , то существует i такое что  и Δ_i={S}. Таким образом, S^q = S и, значит, . Тогда по предложению 1.5.5.  подгруппа группы G, . Применяя теорему 1.5.6 (об изоморфизме) получаем: . Откуда получаем . Следовательно, по теореме Лагранжа порядок G делиться , но t – максимальная степень числа p, поэтому α=0 и . Отсюда следует  и значит Q = S (так как ). И так Δ, что и требовалось доказать.

Теорема 2.2.2. (третья теорема Силова)

(Количество) Количество силовских p-подгрупп группы G сравнимо с 1 по модулю p и делит порядок G.

Доказательство.Пусть P – силовская p-подгруппа, Δ – класс всех подгрупп сопряженных с p элементами из G.

По теореме 2.2.1. (вторая теорема Силова) Δ совпадает с множеством всех силовских p-подгрупп так как

Δ , по теореме Лагранжа

Δ , то есть порядок G делиться на порядок Δ.

Разобьем Δ на подклассы подгрупп сопряженных между собой элементами из P:Δ={P}ÈΔ₁È…ÈΔ_s, если подгруппа R ÎΔ, то |Δ|= и, следовательно, |Δ_i|= , . Если  Δ_i={R} и . В силу предложения 1.5.5. получаем что RP = PR подгруппы группы G и .

Далее по теореме 1.5.6. (об изоморфизме) получаем , следовательно,  так как t – максимальная степень числа p, то n =0, отсюда следует . Противоречие с тем что , поэтому  и, следовательно, имеем:

|Δ|= , таким образом, порядок |Δ |=1 (mod p). Теорема доказана. ■

Теорема 2.2.3. Справедливо следующее утверждение:

i) Силовская р-подгруппа Р группы G нормальна в G тогда и только тогда, когда она единственна.

ii) Конечная группа G порядка  является прямым произведением своих силовских -подгрупп  в точности тогда, когда все эти подгруппы нормальны в G.

Доказательство:(i) Все силовские подгруппы, отвечающие данному простому делителю р порядка , по второй теореме Силова сопряжены. Условие единственности Р означает, что  для любого элемента  то есть .

(ii) Докажем вначале

Необходимость. Пусть , где  – силовские подгруппы группы G. Тогда в силу теоремы 1.4.5  нормальна в G как любой прямой множитель.

Достаточность. Пусть теперь  нормальна в G и , то есть каждая силовская подгруппа  единственна в G. Заметим, во первых, что если , ,  и, следовательно, x = e. Стало быть,  отсюда для любых ,  учитывая, что .

. С другой стороны, так как , то

, отсюда следует,  то есть элементы  и  перестановочны.

Пусть единичный элемент  записан в виде , где – элемент порядка . Обозначив  и воспользовавшись перестановочностью , получим

 (1)

Учитывая, что  – это порядок элемента . Из последнего равенства (1) получаем , так как  и  взаимно просто, то . Это верно при любом j, и, значит равенство  возможно лишь при .

С другой стороны каждый элемент  порядка ,  записывается в виде,

, , . (2)

Достаточно положить , где показатели определяются условиями

, .

Предположим теперь, что х допускает другую запись в виде произведения – элементов , то есть справедливо равенство .

Домножим обе части равенства справа на , получим

В силу перестановочности  и  будем иметь

как было показано выше, влечет равенства , то есть

Таким образом, каждый элемент группы G записывается и притом единственным образом в виде (2), то есть смотри 4 п. 2  ■

2.3 Описание групп порядка pq

Теорема Силова часто дает весьма существенную информацию о данной конечной группе, а группы не очень большие позволяет описать полностью.

Пусть , p и q простые числа.

1. Рассмотрим первый случай, когда p = q, то есть порядок . Тогда по теореме 1.4.4. G – абелева.

2. Пусть p и q по-прежнему простые числа, но  p < q.

Тогда в группе G по первой теореме Силова существует силовские подгруппы порядка p и q, которые по следствию 2. теоремы Лагранжа будут являться циклическими.

Пусть – силовские p- и q- подгруппы соответственно. По третьей теореме Силова число силовских q- подгрупп в G равно

 и делит pq. Откуда следует, что  и подгруппа – единственна. В силу теоремы 2.2.3. (i): . Аналогично число силовских p-подгрупп равно и делит pq. Здесь возможно два случая:  и .

а) Силовская – единственна, тогда она нормальна в G. Применяя туже теорему 2.2.3., но уже пункт (ii), получаем, что . По теореме 1.1.3. , следовательно,  таким образом, в этом случае . ■

в) 1+ kp = q, то есть имеется q силовских p-подгрупп. Из условия 1+ kp = q следует  или . В силу второй теоремы силова подгруппы  и  сопряжены. Пусть

                                                                          (1)

Если r =1, то  или ba = ab. Из последнего равенства следует, что  и значит, как и выше . Пусть  и r >1 тогда выясним, какое может быть r удовлетворяющее равенству (1). Из равенства (1) индукцией по x получаем , откуда

,                                            (2)

для всех целых x , y.

При x = p , y =1 из равенства (2) будем иметь вид  так как , то получаем  или . Известно, что если элемент х группы G имеет порядок n, то  тогда и только тогда когда . Следовательно, , то есть  или .

Кроме того, из равенства (2) можно получить более общую формулу умножения. Домножим равенство (2) слева на а^х:  далее полученное равенство домножаем слева a^z:  из полученного равенства умножаем, справа на элемент b^t получаем

                                                     (3)

Обратно покажем, что если ,  и r не сравнимо с 1 по (mod q) то формула (3) определяет неабелеву группу порядка pq.

Таким образом с помощью теоремы Силова мы описали все возможные типы групп порядка pq, при условии, что p < q их оказалось два – абелев и неабелев, причем второй существует только при условии .