Примеры силовских подгрупп

Пример 1. Если порядок n аддитивной группы кольца вычетов ℤ_n имеет каноническое разложение , то, как в 3 ℤ_n разлагается в прямое произведение своих силовских p-подгрупп, которые являются циклическими подгруппами , то есть

.

Пример 2. Рассмотрим обще линейную группу над конечными полями GF(q) из q элементов. Напомним, что общей линейной группой GL_n(q) называется группа всех обратимых матриц порядка n над полем GF(q). Унитриугольную подгруппу UT_n(q) группы GL_n(q) составляют все матрицы с нижним нулевым углом и единицами на главной диагонали.

Пусть– простое число, m , n – целые числа  и . Покажем, что UT_n(q) – силовская р-подгруппа группы GL_n(q). Для этого подсчитаем порядки этих групп.

Выясним, какие последовательности из n элементов поля GF(q)могут быть первой строкой невырожденной матрицы. Очевидно, любые кроме нулевой,  то есть всего таких последовательностей qⁿ –1 штук. Если первая строка выбрана, то в качестве второй строки можно

взять любую не пропорциональную первой. Таких строк qⁿ – q. Если две первые строки уже выбраны, то в качестве третьей можно взять любую строку, не зависящую линейно от первых двух, это даст qⁿ - q ² возможностей и так далее. Значит

,

так как условные элементы матрицы из UT_n(q)пробегают независимо друг от друга все поле, а всего условных мест С²_n, то . Преобразуем выражение

.

Вынесем из второй скобки равенства – q, из третьей – q² и из n – q^n-1, получим

.

Учитывая, что  окончательно получаем,

.

В свою очередь так как, , но .

Теперь из сравнения порядков групп GL_n(q) и UT_n(q) видем, что UT_n(q) силовская p-подгруппа в GL_n(q).

Заключение

В процессе выполнения данной дипломной работы были выполнены все поставленные задачи, тем самым цель работы достигнута.

В первой главе были собраны вспомогательные понятия и теоремы, используемые в дипломной работе.

Во второй главе доказываются теоремы Силова и дается описание групп порядка pq.

Материалы данной дипломной работы могут быть использованы при чтении спецкурсов посвященных как теории групп вообще, так и отдельным её разделам.

Список литературы

1. Варпаховский Ф.Л. и др. Алгебра. Группы, кольца, поля. Векторные и евклидовы пространства. Линейные отображения. – Учебное пособие. – М.: Просвещение, 1978 .

2. Каргополов М.И, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука,

1982.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I . Основы алгебры. – Учебник для вузов. – М.: Физико-математичекая литература, 2001.

4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III . Основные структуры алгебры. – Учебник для вузов. – М.: Физико-математичекая литература,

2001.

5. Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. – Учебник для вузов. – М.: ФИЗМАЛИТ, 2001.

6. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – Учеб. пособие для педагогических институтов. – М.: Высш. школа, 1979.

7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1965.

8. Курош А.Г. Теория групп. – М.: Гостехиздат, 1953.

9. Ларин С.В. Лекции по теории групп. – Красноярск, 1994.

10. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.

11. Ляпин Е.С. и др. Упражнения по теории групп. – М.: Наука, 1967.

12. Нечаев В.А Задачник–практикум по алгебре. – М.: Просвещение, 1983.

13. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. – Учебное пособие для вузов. – М.:

Наука, 1984.

14. Холл М. Теория групп. – М.: ИЛ, 1962.