Спектр дискретного случайного процесса

Для определения спектральных характеристик дискретного случайного процесса используется тот же подход, что и в аналоговом случае, т.е. усредняется спектр мощности:

Черта сверху обозначает здесь усреднение по ансамблю реализаций. Если про­цесс эргодический, спектр мощности для всех реализаций является одинаковым и выполнять усреднение по ансамблю не обязательно.

Выполнять вычисления непосредственно по данной формуле неудобно, поэтому попробуем привести ее к более приемлемому виду. Для этого раскроем выраже­ние для квадрата модуля:

Суммируемые слагаемые зависят от разности индексов k и m, поэтому можно преобразовать двойную сумму в одиночную:

поскольку при любом l:

окончательно получаем

Это выражение представляет собой дискретный аналог теоремы        Винера-Хинчина: «Спектр дискретного случайного процесса является преобразованием Фурье от его корреляционной функции».

Непараметрические методы расчета

При использовании непараметрических методов расчета спектра случайного процесса используется только информация, заключенная в отсчетах сигнала, без каких-либо дополнительных предположений. Мы кратко рассмотрим два таких метода — периодограмму и метод Уэлча (Welch).

Периодограмма

Этим термином — периодограмма (periodogram) — называется оценка спектральной плотности мощности, полученная по N отсче­там одной реализации случайного процесса согласно определению (1) (есте­ственно, не путем взятия предела, а усреднением конечного числа слагаемых). Таким образом, периодограмма рассчитывается по следующей формуле:

Деление на частоту дискретизации необходимо для получения оценки спек­тральной плотности мощности аналоговогослучайного процесса, восстановлен­ного по отсчетам x ( k ).

Если при расчете спектра используется весовая функция (окно) с коэффициен­тами w ( k ), формула (2) слегка модифицируется — вместо числа отсчетов N b знаменателе должна стоять сумма квадратов модулей коэффициентов окна. По­лученная оценка спектра мощности называется модифицированной периодограм­ мой (modified periodogram):

Периодограмма не является состоятельной оценкой спек­тральной плотности мощности, поскольку дисперсия такой оценки сравнима с квадратом ее математического ожидания. С ростом числа используемых отсче­тов значения периодограммы начинают все быстрее флуктуировать.

Метод Уэлча.

При вычислении периодограммы по длинному фрагменту случайного сигнала она оказывается весьма изрезанной. Для умень­шения этой изрезанности необходимо применить какое-либо усреднение. Даньелл (Daniell) предложил сглаживать быстрые флуктуации выборочного спектра путем усреднения по соседним частотам спектра. Данный метод, называемый периодограммой Даньелла, сводится к вычислению свертки периодограммы со сглаживающей функцией. В методе Бартлетта (Bartlett) анализируемый сигнал делится на неперекрывающиеся сегменты, для каждого сегмента вычисляется периодограмма и затем эти периодограммы усредняются. Если корреляционная функция сигнала на длительности сегмента затухает до пренебрежимо малых значений, то периодограммы отдельных сегментов можно считать независимы­ми. В этом случае дисперсия периодограммы Бартлетта обратно пропорциональ­на числу используемых сегментов, однако с ростом числа сегментов при фик­сированном общем числе отсчетов сигнала падает спектральное разрешение (за счет того, что сегменты становятся короче).

Уэлч (Welch) внес в метод Бартлетта два усовершенствования: использование весовой функции и разбиение сигнала на перекрывающиеся фрагменты. Приме­нение весовой функции позволяет ослабить растекание спектра и уменьшить смещение получаемой оценки спектра плотности мощности ценой незначитель­ного ухудшения разрешающей способности. Перекрытие сегментов введено для того, чтобы увеличить их число и уменьшить дисперсию оценки.

Итак, вычисления при использовании метода Уэлча (он называется еще методом усреднения модифицированных периодограмм — averaged modified periodogram method) организуются следующим образом:

1. Вектор отсчетов сигнала делится на перекрывающиеся сегменты. Как прави­ло, на практике используется перекрытие на 50 %. Строго говоря, оптималь­ная степень перекрытия зависит от используемой весовой функции.

2. Каждый сегмент умножается на используемую весовую функцию.

3. Для взвешенных сегментов вычисляются модифицированные периодограммы.

4. Периодограммы всех сегментов усредняются.

Так же как и для периодограммы Бартлетта, дисперсия оценки, получаемой мето­дом Уэлча, уменьшается примерно пропорционально числу сегментов. Благода­ря перекрытию в методе Уэлча используется больше сегментов, поэтому диспер­сия оценки спектра плотности мощности оказывается меньше, чем для метода Бартлетта.