Сравнения первой степени с одной переменной

Основные понятия

Определение 1. Сравнением первой степени с одной переменной называется сравнение вида

(2.1)

где

Будем говорить, что целое число  удовлетворяет сравнению (2.1), если верное сравнение.

Теорема 1. Если целое число  удовлетворяет сравнению (*), то и весь класс  по  состоит из чисел, удовлетворяющих этому сравнению.

Доказательство. Имеем: , отсюда получим, что . Обозначим через  разность , то есть . Следовательно, . А так как число  удовлетворяет сравнению (2.1), то сравнение

(2.2)

является верным. Кроме того,

Получим

(2.3)

Но тогда по свойству транзитивности из (2.2) и (2.3) получим, что

,

то есть  удовлетворяет сравнению (2.1), поэтому весь класс , состоит из чисел, удовлетворяющих сравнению (2.1). Теорема 1 доказана.

Определение 2. Решением сравнения (2.1) называется класс вычетов по , которые при подстановке в сравнение обращают его в верное сравнение.

Число решений сравнения по  это число решений этого сравнения в какой-либо полной системе вычетов по модулю .

Примеры.

1) . Полная система наименьших неотрицательных вычетов по модулю 7: (так как классы вычетов будут ).

Если , то , следовательно, не удовлетворяет сравнению.

Если , то , следовательно, не удовлетворяет сравнению.

Если , то , следовательно, не удовлетворяет сравнению.

Если , то , следовательно, удовлетворяет сравнению, а поэтому класс вычетов  по  является решением сравнения.

Если , то , следовательно,  не удовлетворяет сравнению.

Если , то , следовательно,  не удовлетворяет сравнению.

Если , то , следовательно,  не удовлетворяет сравнению.

Таким образом, сравнение имеет одно решение или, в другом виде, .

Ответ: .

2) .

Классы вычетов по mod 10: . Полная система наименьших по абсолютной величине вычетов по mod 10: {0, 1, 2, 3, 4, 5, -4, -3, -2, -1}. Проверим для каждого из этих чисел, будет ли выполнено условие . Имеем:

Получили, что ни одно из чисел, взятых из полной системы вычетов, не удовлетворяет сравнению, следовательно, данное сравнение не имеет решения.

Ответ: .

Теорема о неразрешимости сравнения

Теорема 1. Пусть дано сравнение

(2.4)

, . Тогда сравнение (2.4) не имеет решения.

Доказательство. От противного. Предположим, что существует решение: класс вычетов  по mod m. Тогда  удовлетворяет сравнению, то есть верное сравнение. Отсюда получим, что

(2.5)

Из условия теоремы: следует, что

(2.6)

Поэтому из (2.5) и (2.6) получим, что  и , отсюда следует, что . Получили противоречие:  так как сделали неправильное предположение. Отбросив его, получим, что сравнение (2.4) не имеет решения. Теорема 1 доказана.