Формулировка гипотезы о законе распределения Rayleigh

Пусть f₀(x) – известная плотность вероятности распределения Rayleigh и f_ξ(x) – плотность вероятности генеральной совокупности.

Гипотеза вида

{H₀ : f_ξ(x) = f₀(x); H₁ : f_ξ(x) ≠ f₀(x);}

Является двухальтернативной непараметрической сложной гипотезой о законе распределения. Здесь проверяется утверждение о том, что исследуемая выборка извлечена из распределения f₀(x)

Для проверки согласия полученных случайных величин теоретическому распределению используется λ-критерий Колмогорова–Смирнова. Критерий Колмогорова–Смирнова применяется с наибольшей эффективностью, когда есть основание предположить, что частоты каждого из порядковых значений будут располагаться не случайным образом, а в соответствии с некоторой предсказуемой схемой.

Процедура, связанная с вычислением тестовой статистики λ, требует накапливания частот по всем порядковым значениям. Затем сравниваются два распределения накопленных частот – теоретическое распределение, имеющее место при справедливой H₀, и наблюдаемое распределение. Таким образом, проверяется гипотеза

H₀ : F_ξ(x) = F₀(x),

против альтернативы

H₁ : F_ξ(x) ≠ F₀(x),

где F_ξ(x) – функция распределения генеральной совокупности, F₀(x) – непрерывная гипотетическая функция распределения.

Для проверки гипотезы используется статистика

,

где Δ – максимальный модуль отклонения гипотетической функции распределения от эмпирической функции распределения

.

Если гипотеза H₀ верна, то статистика λ имеет распределение, приближающееся при  к распределению Колмогорова–Смирнова. Критерий для проверки гипотезы имеет следующий вид:

P(λ > λ_α) = α,

где α – 100α-процентное отклонение распределения Колмогорова–Смирнова. Например, для α = 0,01 критическое значение статистики λ_α = 1,627.

Для последовательности (выборки) данные сгруппированы для проведения расчетов по критерию согласия Колмогорова–Смирнова.

Г. Стерджес (Herbert Sturges, 1926) предложил правило для определения числа интервалов k при построении гистограммы распределения случайной величины. При этом i-й интервал является биномиальным коэффициентом . Общий объем выборки

,

отсюда число интервалов для построения гистограммы с нормальными данными

,

где n – количество значений случайной величины в исследуемой выборке. Полученное значение округляется до целого числа. Правило Г. Стерджеса справедливо для величин, распределенных по нормальному закону. В общем случае оно может быть использовано без корректировки для n < 200. При использовании десятичного логарифма, соответственно, используется формула

.

Для построения гистограммы и проверки гипотезы о законе распределения Rayleigh построена таблица 2.

Таблица 2 – Исходные данные для построения гистограммы и проверки гипотезы о законе распределения Rayleigh