Понятие нормированного пространства.

Содержание.

Введение……………………………………………………………………….2

Глава I . Нормированные пространства…………………………………..3

§1. Понятие нормированного пространства........................................3

§2. Пространства суммируемых функций…………………………...5

§3. Интеграл Лебега – Стилтьеса………………………………..........7

Глава II . Интерполяция в пространствах суммируемых функций….11

     §1. Теорема Марцинкевича и ее применение……………………...11

§2.Теорема Рисса–Торина и ее применение ………………………15           

Глава III . Пространства суммируемых последовательностей…..…....24

§1. Основные понятия……………………………………………….24

§2. Связь между коэффициентами Фурье -периодической функции и ее нормой в …………….……………………………25

Литература………………………………………………………………...28

Введение.

   Понятие нормированного пространства – одно из самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С.Банахом в 20-х годах 20 века. В работе эта теория прилагается к изучению суммируемых функций и последовательностей с позиций функционального анализа. Эти функции и последовательности образуют нормированные пространства, на которых вводятся операции сложения и умножения на число, а также норма.

   Основным объектом классического функционального анализа являются операторы, действующие из одного банахова пространства в другое.

   Целью данной работы является рассмотрение линейных операторов, действующих из одного пространства суммируемых функций в другое, а также в пространство суммируемых последовательностей.

   Основные понятия нормированных пространств изложены в первой главе.

   Вторая глава посвящена интерполяции в пространствах измеримых функций. Рассмотрена теорема Марцинкевича, являющаяся одной из классических в теории интерполяции, и дано ее подробное доказательство. Приводится доказательство непрерывности оператора свертки с использованием данной теоремы. Также рассмотрена интерполяционная теорема Рисса – Торина и ее применение.

В третьей главе даны основные понятия пространства суммируемых последовательностей, доказана связь между коэффициентами Фурье - периодической функции и ее нормой в  при помощи теоремы Марцинкевича.

Глава I . Нормированные пространства.

Понятие нормированного пространства.

 Введем основные понятия теории нормированных пространств.

Определение. Непустое множество  называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Ι. Для любых двух элементов  однозначно определен элемент , называемый их суммой, причем

1. (коммутативность)

2. (ассоциативность)

3. В  существует такой элемент 0, что для всех

4. Для каждого существует такой элемент , что .

II. Для любого числа  и любого элемента  определен элемент , причем

5.

6.

III. Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:

7.

8.

Определение. Линейное пространство  называется нормированным, если на нем задана неотрицательная функция , называемая нормой, удовлетворяющая условиям:

1. ;

2.  для любого   и любого числа ;

3.  для любых  (неравенство треугольника).

    Определение. Оператором называется отображение , где - это линейные пространства.

    Определение. Оператор  называется линейным, если для любых элементов   и любых чисел R выполняется равенство:

                                   .

    Определение. Пусть  - линейные нормированные пространства,

 – линейный оператор, .

Линейный оператор непрерывен в точке , если из того, что  следует, что .

    Определение.Линейный оператор  непрерывен, если он непрерывенв каждой точке .

    Определение.  Линейный оператор называется ограниченным, если .

Утверждение. Для линейного нормированного пространства непрерывность линейного оператора равносильна его ограниченности.

    Определение. Наименьшая из констант M таких, что , называется нормой оператора А и обозначается .

В частности, выполняется .

    Справедливо следующее утверждение: для любого ограниченного линейного оператора .