Интерполяционная теорема Рисса – Торина

И ее применение.

    Прежде чем рассмотреть теорему Рисса – Торина и ее приложение, приведем определения и докажем факты, связанные с теорией банаховых пространств, которые понадобятся для этого.

    Определение. Последовательность  метрического пространства Х называется фундаментальной, если .

    Верно следующее утверждение.

Утверждение. Если последовательность  сходится, то она фундаментальная.

    Обратно верно не всегда.

    Определение. Метрическое пространство  называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится.

    Определение. Если пространство , порожденное нормой, является полным, то линейное нормированное пространство называется банаховым.

    Определение. Пусть – банахово пространство, – подпространство в . называется всюду плотным в Х, если , т.е. , такая, что .

Утверждение 4 . Пусть оператор , где плотно в – банахово пространство. Тогда оператор  можно распространить на , т.е. существует оператор , такой, что  и .

Доказательство.

    Возьмем  из . По определению существует последовательность  из  такая, что  стремится к , при  стремящемся к .

Докажем, что  из  будет фундаментальной последовательностью. Тогда, т.к.  полное, последовательность  будет сходящейся.

    Возьмем произвольное положительное число . Найдем номер , для которого выполняется .Тогда

. Следовательно, последовательность  фундаментальная.

    Пусть  стремится к . Определим оператор  равенством .

а) Проверим корректность определения оператора .

Итак,  стремится к ,  стремится к . Возьмем другую последовательность , имеющую в пределе . Тогда  будет стремится к некоторому элементу .Составим новую последовательность  Ее пределом будет . Пусть соответствующая последовательность  стремится к . Из последней можно выбрать две подпоследовательности  и , сходящиеся соответственно к  и .Следовательно,  и , т.е.  и  совпадают.

б) Докажем линейность оператора А. Пусть Х;  - произвольные числа. Рассмотрим элемент . По определению существуют последовательности {x_n},{y_n}, такие, что . Тогда .

.

Получили , что и означает по определению линейность оператора А. При этом, т.к. если , то в качестве  можно взять  для всех n. Тогда  и .

в) Докажем непрерывность оператора А.

Возьмем . , .

. По теореме о предельном переходе в неравенстве будет выполняться неравенство . Т.к. по определению  - это наименьшая из констант, удовлетворяющих данному неравенству, то . (*)                                                                                        

С другой стороны, по определению  , . Так как , то .                                                                                  (**)

Учитывая неравенства (*) и (**) , установили равенство . Таким образом, утверждение доказано.        

    Определение. Функция   называется простой, если она представляет собой конечную линейную комбинацию характеристических функций попарно непересекающихся измеримых множеств , где .

Теорема Лебега. Если последовательность  на сходится к и при всех , где  суммируема на , то предельная функция  суммируема на  и .

Предложение 4. Множество простых функций всюду плотно в , т.е. , такая, что ,где – простая функция.

Доказательство.

    I.Обозначим , где N.

 

 

    Ясно, что для почти всех . Тогда  для почти всех . Следовательно, .

С другой стороны,                                                            (*)  ,т.е. . Поэтому  суммируема. Применим теорему Лебега к неравенству (*) : . Получим, что  и, значит, приблизили  функциями . Возьмем произвольное положительное число . Найдем функцию  такую, что .

    II. Приблизим  ступенчатой функцией.

Обозначим , где . Положим .

По свойству интеграла Лебега для любого положительного  найдется , такое, что . Это означает, что .

Отрезок  разобьем на  равных частей точками  так, чтобы .

Обозначим

.

Рассмотрим функцию . Тогда . Следовательно, , т.е. .

В результате нашлась простая функция  такая, что

.

III. Таким образом, . Предложение доказано.

 

    Первая интерполяционная теорема в теории операторов была получена М.Риссом в 1926 году в виде некоторого неравенства для билинейных форм. Ее уточнение и операторная формулировка были даны Г.О.Ториным. Вся теория интерполяции линейных операторов первоначально развивалась в направлении обобщения этой теоремы. Дадим ее формулировку.

Теорема. Пусть . Оператор Т действует из пространства  в   с нормой  и одновременно из   в  с нормой .Тогда Т будет непрерывным оператором из пространства  в  с нормой , удовлетворяющей неравенству  при условии, что 0<t<1 и ; .

 

Теперь рассмотрим приложение теоремы Рисса – Торина в доказательстве следующего факта.

Теорема. Пусть  и для чисел  выполняется равенство .Тогда свертка .

Доказательство.

    Нужно доказать, что , т.е. .    Зафиксируем произвольную функцию  из . Докажем сначала требуемый результат для частного случая, когда функция g простая, а затем распространим на произвольные функции g.

    I. Пусть функция  простая.

1) Рассмотрим оператор свертки на множестве простых функций и проверим, что он типа , где  . В силу неравенства Гельдера . Учитывая геометрический смысл интеграла, получим  для любого действительного числа х. Тогда . Так как , то , т.е. равна некоторому числу . Таким образом, . Следовательно, нашлась константа , такая, что . Это и означает, что оператор свертки Т на множестве простых функций типа .

2) Проверим, что оператор Т типа , т.е. .

Рассмотрим случай, когда функция g имеет вид: .

.

Обозначим .

Тогда правая часть равенства примет вид

 по неравенству Минковского.               (1) 

    Рассмотрим первое слагаемое

(2)                                      Аналогично второе слагаемое

.                                     (3) 

 

    Таким образом, учитывая (1),(2),(3), получим . Найдем

, т.к. .

    Далее имеем

. В результате, ,т.к. , то  и равна некоторому числу .

    Совершенно аналогично доказывается  для случая, когда .

1) Таким образом, из пунктов I.1 и I.2 получим, что  типа  и , и,

 следовательно,  будет типа  при условии  , где .

; , т.е. , что и дано по условию.

    Таким образом, применив теорему Рисса – Торина, установили истинность доказываемого утверждения для всех простых функций .

    II. Пусть  – произвольная функция из .

По предложению 4 множество простых функций всюду плотно в .

По утверждению 4 оператор свертки можно распространить на  и тогда доказываемый факт верен для любой функции  из . Теорема доказана.