Глава III . Пространства суммируемых последовательностей.

Основные понятия.

Рассмотрим применение теории интерполяции для пространств .

    Пусть {m _z}_{z Î Z}  - последовательность неотрицательных чисел. Определим на множестве Z меру следующим образом:  для любого целого числа . Пространство суммируемых со степенью p последовательностей относительно меры m, то есть таких, что    обозначается .

Так как мера m определена на множестве всех подмножеств множества Z, то любую последовательность можно рассматривать как измеримую функцию. Обозначим через  линейное пространство всех последовательностей.

    Определение. Число     называется нормой последовательности x_n из l^p ( m , Z ).

    В случае, если  для всех z, то получим классическое пространство l^p ( Z ) последовательностей, суммируемых со степенью p .

    Определение. Оператор Т, действующий из пространства  в  называется оператором слабого типа ( p , p ), если , где , и  оператором типа (p , p ), если .

    В этом случае остается справедливым следующий факт: любой оператор типа есть оператор слабого типа . Прежде чем установить его истинность, докажем утверждение, которое для этого понадобится.

Утверждение 5. Пусть дана последовательность   из   с неотрицательными членами. Тогда .

Доказательство.

    Обозначим . Нужно доказать, что .

. Получили, что .

    Утверждение доказано.

Предложение 5. Любой оператор типа  есть оператор слабого типа .

Доказательство.

    Дано, что  и . Доказать, что

.

    Возьмем произвольное положительное число . По утверждению 5

. По условию . Тогда , что и требовалось доказать.

    Легко увидеть, что теорема Марцинкевича будет справедлива и для операторов, действующих из пространств  в пространство .

§2. Связь между коэффициентами Фурье - периодической функции и ее нормой в .

 

    Теория интерполяции имеет многочисленные приложения в теории рядов Фурье.

    Определение. Пусть -периодическая функция, такая что . Нормой  в пространстве  называется число , а коэффициентами Фурье функции  называются числа .

Для функций из пространства  выполняется равенство .

В случае других значений   это, вообще говоря, не верно. Однако можно указать следующую оценку.

    Предложение 6. Пусть периодическая функция из . Тогда для любого числа  из отрезка [1,2] существует константа , такая, что .

Доказательство.

    Рассмотрим оператор  и определим меру , т.е. оператор  действует из  в .

1) Докажем, что  оператор слабого типа : .

Зафиксируем произвольное положительное число .

.

Пусть . Тогда .                            (2)

Далее имеем

.

    Учитывая равенства (1) и (2), получим, что .

В результате нашли константу , такую, что .

2) Докажем, что  типа : .

Уже говорилось, что для функций из пространства  выполняется равенство  .                                                          (3)

. По неравенству (3) . По предложению 5 оператор  будет слабого типа .

3) По теореме Марцинкевича  будет типа  для любого  из интервала (1,2), т.е. , что и требовалось доказать.                         

Литература.

1. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. «Наука», Москва, 1965.

2. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. «Наука», Москва, 1984.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. «Наука», Москва, 1968.

4. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов.«Наука», Москва, 1978.

5. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. «Наука», Москва, 1974.

 

Распространим меру с сохранением свойств 1 и 2, определенную пока для сегментов, на более широкий класс множеств – так называемые элементарные множества.

    Назовем множество элементарным, если его можно представить хотя бы одним способом как объединение конечного числа попарно непересекающихся сегментов.

    Определим теперь меру  для элементарных множеств следующим образом: если , где  - попарно непересекающиеся сегменты, то .

    Далее распространим меру и на бесконечные объединения сегментов. Для того, чтобы при этом не встречались множества «бесконечной меры», ограничимся рассмотрением множеств, целиком принадлежащих отрезку . На совокупности всех таких множеств определим две функции  и :

    Определение. Верхней мерой  множества  называется число, где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям множества А конечными или счетными системами сегментов.

    Определение. Нижней мерой  множества  называетсячисло .

    Определение. Множество  называется измеримым, если . Их общее значение  называется лебеговской мерой.

    Итак, распространили меру с элементарных множеств на более широкий класс множеств, называемых измеримыми, замкнутый относительно операций взятия счетных сумм и пересечений. Построенная мера является на этом классе множеств  - аддитивной, т.е. если  - последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств и , то .

    Однако, мы рассмотрели лишь те множества, которые являются подмножествами .

    Нетрудно освободиться и от этого ограничения. Представив всю числовую ось как сумму отрезков  (  - целое), будем говорить, что множество  измеримо, если его пересечение  с каждым из этих отрезков измеримо, и ряд  сходится. При этом положим по определению, .

    Причем совокупность множеств, измеримых относительно данной меры, также будет замкнута относительно операций взятия счетных сумм и пересечений, а мера будет  - аддитивна.

    Определение. Меру , получающаяся с помощью такого построения, называют мерой Лебега – Стилтьеса, отвечающей функции , а саму функцию  называют производящей функцией этой меры.