Пространства суммируемых функций.
Среди различных классов нормированных пространств, встречающихся в анализе, один из важнейших - это пространство суммируемых функций. Далее будем рассматривать именно эти нормированные пространства. Определение. Пусть – некоторое фиксированное измеримое множество из . Пространством , где ,называется нормированное пространство, элементами которого служат функции , измеримые и почти всюду конечные на , для которых выполняется Функции, эквивалентные друг другу на , не различаются, а считаются за один и тот же элемент пространства . В частности, нулевой элемент в – это совокупность всех функций, равных нулю почти всюду. Сложение элементов в и умножение их на числа определяются как обычные сложение и умножение функций. Точнее, поскольку каждый элемент в – это класс эквивалентных между собой функций, то для того, чтобы сложить два таких класса, нужно брать в них по представителю и потом суммой этих классов называют класс, содержащий сумму выбранных представителей. Результат не будет зависеть от выбора представителей в данных классах. Определение. Число называется нормой функции Будут выполняться все свойства нормы: 1. и почти всюду; 2. 3. Первое свойство cледует из определения нормы и того, что Второе – из свойства интеграла: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Третье свойство вытекает из неравенства Минковского: для любых функций Определение. Функция называется ограниченной почти всюду, если существует неотрицательное число такое, что почти всюду выполняется неравенство . (*) Определение. Пространством называется нормированное пространство, элементами которого служат почти всюду ограниченные функции . Нормой называется наименьшая из констант, удовлетворяющих неравенству (*). Для выполняется почти всюду неравенство . Через будем обозначать линейное пространство измеримых функций, заданных на R. Среди линейных операторов, действующих в пространстве , рассмотрим следующие. Определение. Оператор , действующий из пространства ( ) в , называется оператором слабого типа ( p , p ), если , где - мера множества, и оператором типа ( p , p ), если . По определению оператор типа является ограниченным, что равносильно его непрерывности. Предложение 1. Любой оператор типа есть оператор слабого типа . Доказательство. Нужно доказать, что . Воспользуемся неравенством Чебышева: . Возьмем любое положительное число . По неравенству Чебышева . Но по условию . Учитывая последнее соотношение, имеем , что и требовалось доказать.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (191)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |