Интеграл Лебега – Стилтьеса.

Далее понадобится понятие интеграла Лебега – Стилтьеса. Введем это понятие.

Определение. Пусть на R задана монотонно неубывающая функция , которую для определенности будем считать непрерывной слева. Определим меры всех сегментов, интервалов и полусегментов равенствами

    Таким образом, функция , которая каждому сегменту ставит в соответствие меру этого сегмента, будет:

1. принимать действительные неотрицательные значения;

2. аддитивной, т.е. мера объединения есть сумма мер этих сегментов.

    Применив стандартное распространение меры, получим меру на некоторой  - алгебре.  

    Определение. Меру _, получающуюся с помощью такого построения, называют мерой Лебега – Стилтьеса, отвечающей функции , а саму функцию  называют производящей функциейэтой меры.    

    Определение. Пусть  - мера на R, порожденная монотонной функции . Для этой меры обычным образом определяется класс суммируемых функций и вводится понятие интеграла Лебега .  

Такой интеграл, взятый по мере , отвечающей производящей функции , называется интегралом Лебега – Стилтьесаи обозначается .

Теперь докажем факт, который используется при доказательстве интерполяционной теоремы.

Предложение 2.  и для

 и , тогда

(1) , и если , и , то

.                                                       (2)

Доказательство.

Равенство (1) следует из определения интегралов Лебега и Лебега – Стилтьеса:

Если  - последовательность разбиений действительной оси:

 , и , то интегралы , где , если , стремятся при .

С другой стороны:

 при .

Это и доказывает равенство (1).

Пусть теперь . По (1), учитывая, что , получаем         (2’)

При

Следовательно, из соотношения (2’), делая замену переменных , получим первое равенство (2).

Далее, для любого  выполняется

(интегрирование по частям: ).

Для доказательства второго равенства в (2) достаточно устремить в последнем соотношении число  к  и использовать оценку:

 при .

 

Предложение 2 доказано.

Замечание. Если функция  задана на , то, применяя равенство (2) для функции  ,  , и учитывая, что     , получим

          (3)

 

Глава II . Интерполяция в пространствах суммируемых функций.

Теорема Марцинкевича и ее применение.

Одной из важнейших в теории интерполяции является теорема Ж.Марцинкевича, доказанная им в 1939 году. Прежде чем рассмотреть теорему, докажем предложение.

Пусть дана функция . Положим для

, .

Предложение 3.  Пусть , , для любого положительного числа  и  – функции, описанные выше. Тогда .

Доказательство.

                                                                                                              

                                                

							h(x)

                                                              

                                                                                                            

Нужно показать, что , т.е. .

    I. Для функции

1) если 0<t  , то , т.к.

2) Пусть t>1.

    Обозначим , .

. Конечность  доказана в первом случае. Рассмотрим второй интеграл.

Покажем, что . Предположим противное, что .

, т.к. . С другой стороны, . Но  на , т.е. , а это противоречие. Получили, что  конечна и т.к. интеграл от ограниченной функции по конечной мере конечен, то . Тогда .

    II.для функции :

1) если , то .

2) Пусть .

Пусть

. Конечность  доказана в первом случае. Нужно показать, что  конечен.

    Докажем, что . Предположим противное, что .

( ).

    С другой стороны . Но , т.е.

. Пришли к противоречию.

Получили, что  конечна и т.к. интеграл от ограниченной функции по конечной мере конечен, то . Следовательно, . Предложение доказано.

Следствие. Для всех   справедливо включение: .

Замечание 2. Пусть оператор  задан на пространстве  и на . Тогда оператор  можно распространить с сохранением линейности до оператора, действующего из пространства

т.е.  для любой функции

Такое определение функции  не зависит от выбора  и  Действительно. Возьмем другое представление функции :

, где  т.е.

 Нужно доказать, что .

Из условия следует . Левая часть равенства – это функция из  правая часть - из  Применим к равенству оператор T:

. Так как T линеен в пространствах  и , то . Отсюда , что и требовалось доказать.

 

Теорема Марцинкевича. Если линейный оператор Т имеет слабый тип  и одновременно слабый тип , то Т имеет тип  для любого  из интервала

Доказательство.

    Считаем, что . Фиксируем функцию  и положительное число . Оценим величину      

Пусть  и  функции, описанные выше.

Тогда  и  по замечанию 2.

Следовательно, .

    Используя оценки слабого типа , находим, что при положительном

.

Из последнего неравенства и формулы (3) из замечания 1 получаем

, т.е. оператор Т имеет тип . Теорема доказана.

В качестве применения этой теоремы рассмотрим следующий пример.

Утверждение 2. Пусть . Тогда оператор  будет непрерывным оператором в пространстве , .

Доказательство.

    Рассмотрим два случая, когда  и . Докажем, что оператор  является оператором типа  для этих случаев. Тогда по предложению 1  будет оператором слабого типа  для  и . Применив интерполяционную теорему Марцинкевича, получим, что  – оператор типа  для любого , а это равносильно его непрерывности.

1)  и . Докажем, что найдется число , такое, что

    Учитывая последнее равенство и то, что для любого действительного числа   верно , получим

, где .

2) .

    Нужно доказать, что

Для  почти всюду выполняется неравенство: . (*)

Обозначим , .

. Так как , то .

Исходя из последнего соотношения и неравенства (*), получаем

.

    Таким образом, доказали, что оператор свертки  непрерывен в пространстве  для любого р³1.