Используемые результаты

Теорема 1.1 (Теорема о соответствии) Пусть  - нормальная подгруппа группы . Тогда:

(1) если  - подгруппа группы  и , то  - подгруппа факторгруппы ;

(2) каждая подгруппа факторгруппы  имеет вид , где  - подгруппа группы  и ;

(3) отображение  является биекцией множества S  на множество S ;

(4) если  S , то  - нормальная подгруппа группы  тогда и только тогда, когда  - нормальная подгруппа факторгруппы .

Лемма 1.2 Пусть  - гомоморфизм группы  в группу . Тогда:

(1) единичный элемент  группы  переходит в единичный элемент  группы , т.е. ;

(2) обратный элемент переходит в обратный, т.е.  для всех ;

(3) образ гомоморфизма является подгруппой группы , т.е. ;

(4) ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой группы , т.е. ;

(5) тогда и только тогда  где  когда .

Лемма 1.3 Пусть  - гомоморфизм группы  в группу . Тогда:

(1) если , то ;

(2) если , то ;

(3) если подмножества  и  сопряжены в , то  и  сопряжены в .

Теорема 1.4 (Основная теорема о гомоморфизме) При гомоморфизме групп факторгруппа по ядру изоморфна образу, т.е. если  - гомоморфизм, то .

Теорема 1.5 (первая о изоморфизме) Пусть  - нормальная подгруппа группы . Тогда для любой подгруппы  пересечение  является нормальной подгруппой в подгруппе , а отображение

является изоморфизмом групп  и .

Теорема 1.6 (вторая о изоморфизме) Если  и  - нормальные подгруппы группы , причем , то  изоморфна .

Лемма 3.1 Пусть  - формация, . Тогда

Лемма 20.6. Пусть  - подгрупповой функтор и  - группа. Если  и , тогда .

Лемма 20.7. Пусть ,  - элементарно абелевы -группы с . Тогда  имеет подгруппу  такую, что .

Теорема. Пусть  - такой набор конгруэнций -алгебры A, что . Пусть  прямое произведение факторалгебр  и

Тогда  - мономорфизм алгебры  в алгебру  и  входит подпрямо в .

Теорема 20.8. Пусть  - конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из  либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка  является цепью, когда существует такое простое число , что каждая группа в  является элементарно абелевой -группой.

Теорема 20.9. Пусть  - конечная группа и  - конечное многообразие, порожденное . Тогда в том и только в том случае  является элементарной абелевой -группой, когда решетка  является цепью.

Лемма 24.9 Пусть  - наследственный гомоморф конечных групп. Пусть  - замкнутый подгрупповой функтор на  Пусть  - нильпотентная группа в  и  Предположим, что , где  - простое число. Пусть  - нильпотентная группа в  такая, что  и  Тогда

Лемма 24.10 Пусть  - наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и  Пусть  Если  - идемпотент в , удовлетворяющий условию  и , где  тогда

Теорема 24.11 Пусть  - конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в  конечная. Тогда ширина  решетки  всех идемпотентов в  конечна и  в том и только в том случае, когда  состоит из нильпотентных групп и