Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов

Сопоставляя классу конечных групп  решетки  и  можно изучать свойства групп из  в зависимости от свойств решеток  и .

Лемма 20.6. Пусть  - подгрупповой функтор и  - группа. Если  и , тогда .

Доказательство. Если  - канонический эпиморфизм  на , то

Так как  мы видим по определению подгрупповых функторов, что .

Лемма доказана.

Пусть  - элемент группы . Тогда если для некоторого натурального числа  имеет место , то наименьшее натуральное число  с таким свойством называется порядком элемента . Говорят, что  - группа экспоненты , если каждый ее неединичный элемент имеет порядок .

Пусть  - простое число. Тогда группа  называется элементарно абелевой -группой, если  - абелева группа экспоненты .

Лемма 20.7. Пусть ,  - элементарно абелевы -группы с . Тогда  имеет подгруппу  такую, что .

Доказательство. Нам необходимо рассмотреть лишь случай, когда  - бесконечная группа.

Пусть  и , где  для всех  и . Пусть  - подмножество в  такое, что . И пусть , где  и . Тогда ясно, что

Следовательно, .

Лемма доказана.

Напомним, что класс групп называется наследственным, если он содержит все подгруппы всех своих групп. Класс групп называется конечным многообразием, если он наследственен, является гомоморфом и содержит прямое произведение (с конечным числом сомножителей) любых своих групп.

Пусть  - простое число, делящее порядок группы . Подгруппа  группы  называется силовской -подгруппой в , если  и  - степень числа . Известная в теории групп теорема Силова утверждает, что для любого простого числа  в любой конечной группе  с  имеется силовская -подгруппа. Конечная группа  называется -группой, если ее порядок является степенью числа .

Обозначим через  - класс всех конечных абелевых групп. Ввиду теоремы

Теорема. Пусть  - такой набор конгруэнций -алгебры A, что . Пусть  прямое произведение факторалгебр  и

Тогда  - мономорфизм алгебры  в алгебру  и  входит подпрямо в ., класс  является формацией. Обычно вместо  пишут . Подгруппа  называется коммутантом группы . В теории групп хорошо известно, что если  - конечная -группа, то . Легко проверить, что если , то

Теорема 20.8. Пусть  - конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из  либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка  является цепью, когда существует такое простое число , что каждая группа в  является элементарно абелевой -группой.

Доказательство. Мы сначала предположим, что каждая группа в  является элементарно абелевой -группой. Тогда для каждого кардинального числа , мы полагаем  (см. пример 20.2). Понятно, что  влечет, что . Для доказательства того, что  является цепью нам необходимо только показать, что для любого подгруппового функтора  со свойством  найдется кардинальное число  такое, что

Предположим, что  для всех кардинальных чисел . Тогда . Поскольку , то найдется группа  такая, что для некоторой ее подгруппы  мы имеем . Пусть . Поскольку , найдется группа  такая, что для некоторой ее подгруппы  мы имеем . По лемме 20.6, мы видим, что для всех подгрупп  из , удовлетворяющих условию , мы имеем . Следовательно, . Используя лемму 20.7, мы видим, что имеется подгруппа  в группе  такая, что

Но , и поэтому . Если  - канонический эпиморфизм, который отображает  на , то , и поэтому . Это противоречие показывает, что для некоторого кардинального числа  имеем место .

Так как  и так как каждая группа в  - либо конечна, либо счетна, то найдется натуральное число  такое, что . Пусть  - наименьшее натуральное число такое, что . Мы покажем, что . Предположим, что  и пусть  - группа из  такая, что . В этом случае пусть . Тогда . Теперь, по выбору числа , мы имеем . Это означает, что найдется группа  такая, что  для некоторой подгруппы  из  с . Пусть  - подгруппа в  такая, что  и . Тогда . Так как , мы имеем , и поэтому . Но тогда , и поэтому , противоречие. Следовательно  Значит, .

Теперь мы предположим, что решетка  является цепью. Пусть  и  - конечная группа. Предположим, что порядок  группы  делится по крайней мере на два простых числа  и . Пусть

И пусть  - силовская -подгруппа в  и  - силовская -подгруппа в , соответственно. Тогда

Значит,  и . Это показывает, что  не является цепью, что противоречит нашему предположению. Следовательно, найдется такое простое число , что каждая конечная группа из  является -группой.

Мы теперь покажем, что каждая группа в  является абелевой. Предположим, что это не так и пусть  - неабелева группа в . В этом случае некоторая ее подгруппа , порожденная элементами , является конечной неабелевой -группой. Так как по условию класс  является наследственным, то . Пусть  , где  - класс всех абелевых групп. Поскольку , то , и поэтому . Следовательно, мы имеем . Теперь пусть  где . И пусть  - коммутант подгруппы , . Тогда  и ясно, что . Значит, . Но поскольку , мы имеем . Таким образом,  не является цепью. Полученное противоречие показывает, что каждая группа в  является абелевой. Аналогично можно показать, что экспонента каждой группы из  делит число .

Теорема доказана.

Пересечение всех конечных многообразий, содержащих данную группу , называется конечным многообразием, порожденным . Из теоремы 20.8 вытекает

Теорема 20.9. Пусть  - конечная группа и  - конечное многообразие, порожденное . Тогда в том и только в том случае  является элементарной абелевой -группой, когда решетка  является цепью.

Пусть  и  - подгрупповые -функторы. Определим произведение  при помощи следующего правила

Понятно, что подгрупповой -функтор  является замкнутым тогда и только тогда, когда . Мы используем символ  для обозначения произведения , в котором имеется  сомножителей.

Пусть  - произвольное непустое множество простых чисел. Подгруппа  группы  называется -холловской, если ее индекс  в  не делится ни на одно число из , а среди простых делителей ее порядка  нет ни одного не входящего в . Символом  обозначают множество всех простых чисел, отличных от .

Конечная группа  называется нильпотентной, если выполняется одно из эквивалентных условий:

а) все силовские подгруппы нормальны в ;

б) все максимальные подгруппы (т.е. коатомы решетки ) нормальны в .

Лемма 24.9 Пусть  - наследственный гомоморф конечных групп. Пусть  - замкнутый подгрупповой функтор на  Пусть  - нильпотентная группа в  и  Предположим, что , где  - простое число. Пусть  - нильпотентная группа в  такая, что  и  Тогда

Доказательство. Пусть  - холловская -подгруппа в  и  Предположим, что  Тогда

и поэтому , где  - силовская -подгруппа в . Тогда  противоречие. Следовательно,  и поэтому найдется максимальная подгруппа  в  така1я, что  и . Так как  - нильпотентная группа, то  и поэтому согласно лемме 24.6, мы имеем  Теперь мы докажем, что  Если  то по определению подгруппового функтора мы сразу имеем . Пусть  и пусть  - максимальная подгруппа в  такая, что  Тогда  и так как

Так как  мы видим, что  и поэтому  Следовательно, . Если  где  - максимальная подгруппа в  то  Но  и поэтому мы видим, что  Лемма доказана.

Лемма 24.10 Пусть  - наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и  Пусть  Если  - идемпотент в , удовлетворяющий условию  и , где  тогда

Доказательство. Предположим, что  Тогда найдется группа  с  Мы можем предполагать, что  - группа минимального порядка с этим свойством. Следовательно,  содержит подгруппу  такую, что , но  Ясно, что  Пусть  - максимальная подгруппа в  такая, что  и пусть  Так как  для каждого , мы имеем  Понятно, что  и поэтому  Так как группа  нильпотентна, то  и поэтому по лемме 24.6,  Так как  мы видим, что  для всех  Следовательно,  и поэтому по выбору группы , мы имеем  Так как по условию  то найдется такая группа , что для некоторой ее подгруппы  мы имеем  и  Используя теперь лемму 24.9, мы видим, что  и поэтому

Полученное противоречие показывает, что  Но согласно нашему предположению, мы имеем  Следовательно,

Пусть  - решетка. Подмножество  называется антицепью в  если для любых различных элементов  и  из , мы имеем  и  Если  - антицепь в  такая, что  для любой другой антицепи , тогда кардинальное число  называется шириной решетки .

Если  - произвольная совокупность групп, то символом  обозначается множество всех простых делителей порядков групп из .

Теорема 24.11 Пусть  - конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в  конечная. Тогда ширина  решетки  всех идемпотентов в  конечна и  в том и только в том случае, когда  состоит из нильпотентных групп и

Доказательство. Прежде мы предположим, что формация  нильпотентна и , где  Пусть  Предположим, что имеется замкнытый функтор  в  такой, что  и  для  Мы покажем, что  Действительно, если , тогда найдется группа  такая, что для некоторой подгруппы  из , мы имеем  Мы можем считать, что  - группа минимального порядка с этим свойством. Понятно, что  Пусть  - такая максимальная подгруппа в , что . Согласно условию, класс  является наследственным. Следовательно, , и поэтому ввиду выбора группы , мы имеем  Пусть  Так как  то найдется группа  такая, что  Таким образом, для некоторой подгруппы  мы имеем  и поэтому по лемме 4.9,  Это означает, что  противоречие. Следовательно,  Значит, если  - замкнутый функтор в  и  то для некоторого  мы имеем  По лемме мы видим, что ширина  решетки  равна

Теперь мы предположим, что ширина  решетки  конечна и  Пусть  Если  и  тогда  и  и поэтому  Это означает, что  - конечное множество. Теперь мы покажем, что  - класс нильпотентных групп. Предположим, что  имеет ненильпотентную . Пусть  и пусть  - силовская -подгруппа в . Тогда  Так как  - ненильпотентная группа, то для некоторого  имеет место . Хорошо известно (см., например, [], теорема), что  не является субнормальной подгруппой в , и поэтому  где  (см. пример 21.4). С другой стороны, мы видим, что  и поэтому  Это показывает, что  антицепь  с  противоречие. Таким образом,  - формация, состоящая из нильпотентных групп. А по лемме 4.10,  Теорема доказана.

Заключение

Отметим, что теория подгрупповых функторов уже нашла много примениний при иследовании внутреннего строения конечных групп [1, 2, 3, 4]. Но еще один аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов.

Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток.