Прочность льда при изгибе

Из всех прочностных характеристик рассмотрим только предел прочности льда на изгиб. Во внимание принимается только этот вид деформации потому, что волновая нагрузка на лед от распространяющихся ИГВ приводит к разрушению ледяного покрова только в результате деформации изгиба.

Прочность льда на изгиб определяется несколькими способами: по разрушению балок, свободно лежащих на двух опорах, по разрушению консолей, либо по разрушению круговых плит.

Подробный перечень результатов по определению временного сопротивления на изгиб пресноводного льда, полученных в 1897г. и 1953г. дает К.Ф. Войтковский [24]. В.В. Лавров приводит свои данные по результатам пресноводного озерного, лабораторного и структурно-моделируемого льда. Временные сопротивления при изгибе балок морского льда в большом количестве определены И.Г. Петровым [39].

В работе М.И. Серикова [37] приведены значения временных сопротивлений при изгибе балок из морского льда и консолей, выполненных в ледяном покрове. Последние показали временное сопротивление на изгиб равное (5,6 6,6) кг/см при температуре воздуха до -5°С.

В.В. Лавров обобщил сведения о прочности льда с 1965г. по 1968г. и определил, что среднее значение временного сопротивления морского льда при изгибе и температуре -7°С равно: зимний лед 5,7 кг/см, осенне-зимний 6,7 кг/см, осенний 8,3 кг/см; пак 13,0 кг/см.

 

Механические свойства

Вязкость

Вязкость льда характеризует сопротивление твердого тела развитию остаточной деформации под действием внешних сил. Количественно коэффициент вязкости (коэффициент внутреннего трения) ηопределяется касательной силой F , которая должна быть приложена к единице площади S сдвигаемого слоя, чтобы поддержать в этом слое ламинарное течение с постоянной скоростью относительного сдвига ε, равной единице:

(1.4),

где σ_с- напряжение сдвига.

Статическими методами коэффициент вязкости льда определяется многими авторами при деформации кручения, сдвига, растяжения, сжатия и изгиба. Одним из распространенных способов является метод изгиба свободной балки, лежащей на двух опорах, при котором коэффициент η вычисляется по формуле:

 (1.5),

где b, l, h – ширина, длина, высота балки соответственно; v – установившаяся скорость пластической деформации.

При растяжении (сжатии) стержня сечением S:

 (1.6)

При чистом кручении стержня радиусом r:

 (1.7),

где М_кр - закручивающий момент;  - скорость изменения угла закручивания.

Коэффициент динамической вязкости можно определить по декременту механических колебаний  образца Δ на какой-то частоте f и известному модулю упругости Е, используя для этих целей известное соотношение:

 (1.8)

Экспериментальные значения коэффициента вязкости льда, полученные статическими методами, настолько разноречивы (от 10⁹ до 10 Па*с), что трудно установить какую-либо закономерность его изменения. В. В. Лавров [34], указывая девять факторов, влияющих на изменчивость значений η(кристаллическое строение, температура, нагрузка, размер кристаллов и др.), приходит к такому же выводу, как и К. Ф. Войтковский [24], считая, что коэффициент вязкости льда - практически условная величина, характеризующая отношение напряжения к скорости ползучести в заданных условиях деформирования и в заданный момент времени, а вязкость льда не удовлетворяет закону Ньютона из-за отсутствия линейной зависимости между напряжением и скоростью деформации.

Время релаксации

Релаксация - необратимый (характеризующийся диссипативными потерями энергии) процесс возвращения в состояние термодинамического равновесия макроскопической замкнутой системы, выведенной из такого состояния. Различают быстрые и медленные процессы релаксации и соответствующие им времена. В первом случае релаксация существенно зависит от микроскопических характеристик системы и, в частности, от параметров, характеризующих взаимодействие между частицами (обычно это время и длина свободного пробега частиц t_c и l ). Время релаксации быстрых процессов . К быстрым процессам относятся, например, диэлектрическая, упругая и спин-решеточная релаксации.

Частота максимального уменьшения амплитуды колебаний для каждой температуры определяется как величина, обратная времени релаксации.

Дипольное взаимодействие между протонами различных молекул льда способствует релаксации спина [40]. При определении  спин-решеточной релаксации использовалась формула Онзагера:

здесь b - внутримолекулярное расстояние между протонами (0,162 нм);  - частота Лармора;  - протонное гиромагнитное отношение; ; коэффициент 0,7 соответствует уменьшению  из-за внутримолекулярных взаимодействий.

Медленные процессы релаксации выравнивают, например, температуру, давление, средние скорости и другие характеристики всех частей системы. Время релаксации в этом случае пропорционально размерам системы L и велико по сравнению с t _с а именно:

К медленным процессам релаксации относятся также вязкое течение, диффузия, теплопроводность, электропроводность и т. Д. Если отклонение от равновесия мало, то релаксация часто протекает до закону f = f ₀ * e ^{- t /τ}, где f ₀ - равновесное значение некоторой исследуемой функции системы. Время релаксации напряжений во льду, согласно модели твердого тела Максвелла, определяется вязкостью и модулем сдвига:

 

Время релаксации	Температура льда, °С
	-1,5	-16,8	-20,9	-27,5
Вычислено по τдиэл	3,2	7,8	21	43
Эксперимен- тальное	0,5 0,8	1,2 1,9	3,4 5,1	7,2 10,2

Таблица 7. Время спин-решеточной релаксации во льду, в секундах, по данным работы Л.К. Раннелса [40].

 

Например, при η =10¹² 10¹³ Па*с и G = 1500 МПа τ =660 6660 с (от 11 мин. до 1,85 часа) [34].

 Следовательно, время релаксации льда по аналогии с коэффициентом вязкости не является физической константой. Диапазон изменения τ - от малых долей секунды до нескольких часов [24, 40].

Для случая одностороннего сжатия пресноводного льда (в предположении, что G =1500 МПа) получено следующее эмпирическое уравнение релаксации [24]:

где Т- температура без знака «минус», °С; t- время, ч.

Прочность

Прочность - это свойство материалов в определенных условиях и пределах, не разрушаясь, воспринимать различные механические нагрузки и неравномерные воздействия физических полей.

Прочность льда в значительной степени зависит от многообразия его структурных особенностей.

На прочность льда сильно влияют внешние условия - характер нагрузок, тепловой  режим, агрессивность среды, поверхностные эффекты и т. д. Реальный лед содержит многочисленные повреждения - от субмикроскопических и микроскопических дефектов до крупных пор и магистральных трещин.

Основы физических теорий течения и разрушения твердых тел стали успешно развиваться лить в последние годы, поэтому сейчас не всегда возможно, даже качественно объяснить некоторые особенности процесса разрушения. Использование этих теорий для количественной оценки прочности такого сложного тела, как лед, пока малоперспективно. В последние годы значение проблемы прочности льда возросло, что и стимулировало интенсивные исследования в этом направлении.

Теоретический расчет прочности на разрыв σ _p (напряжении, при котором наступает разрыв) для реальных тел представляет большие трудности. Значение σ _p  при одновременном разрыве всех межатомных связей на поверхности разрыва оценивается в 0,1E, где Е - модуль Юнга. Обычно экспериментальные значения прочности на несколько порядков меньше теоретических. Причина низкой прочности обычных тел - неравномерное распределение внутренних напряжений. При сложении одноименных внешних и внутренних напряжений возникают локальные перенапряжения и разрыв межатомных связей - так зарождаются разрывы оплошности тела. Рост и слияние разрывов образуют макроскопическую трещину, развитие которой приводит к разрушению тела.

В настоящее время проблема прочности имеет механическую и кинетическую концепции. По механической концепции разрушение есть результат потери устойчивости твердого тела. Считается, что для каждого материала имеется определенное пороговое напряжение. При напряжении ниже порога - тело устойчиво и может сохранять целостность под нагрузкой сколь угодно долго. Это пороговое напряжение принимается за меру прочности тела.

В кинетической концепции основным является процесс развития разрушения. Разрушение происходит постепенно вследствие развития и накопления субмикроскопических трещин. Этот процесс развивается в напряженном теле под действием тепловых флюктуации. Вводится понятие о долговечности под нагрузкой, т.е. о времени τ, необходимом для развития процесса от момента погружения тела до его разрушения.

Долговечность тела τ, находящегося под растягивающей нагрузкой, разрывное напряжение σ и абсолютная температура Т, согласно С. Н. Журкову, связаны соотношением:

гдеτ₀,u₀,  - постоянные величины, определяемые физико-химической   природой твердого тела и его структурой; k - постоянная Больцмана, причем энергетический барьер близок по своему значению к энергии связи атомов в кристалле. Для льда энергия активации u ₀ =0,6 Дж/кг, τ =4,6*10¹⁷ с, =1,4*16²⁶ м³/молек.[40].

Закономерность Журкова отрицает понятие о пределе прочности. Вопрос о том, какую нагрузку способно выдержать тело, т. е. какова его прочность, без указания времени, в течение которого оно должно сохраниться неразорванным, не имеет однозначного ответа. Это показывает, что термины «предел прочности», «предельное разрывное напряжение» условны. Они теряют смысл при суждении о физической природе прочности твердых тел, но вполне удобны для практики.

Сейчас в качестве критериев прочности применяют следующие характеристики [31]: предел пропорциональности, предел упругости, предел текучести, предел ползучести, предел прочности (временное сопротивление) и предел выносливости.

Предел пропорциональности σ_пц - напряжение, при котором отступление от линейной зависимости между напряжениями и деформациями достигает некоторого определенного значения, устанавливаемого техническими условиями. Критерий σ_пц ограничивает область справедливости закона Гука. При практических расчетах на прочность предел пропорциональности принимается равным пределу текучести.

Предел упругости σ_у - напряжение, при котором остаточные деформации впервые достигают некоторого значения, характеризуемого определенным допуском, устанавливаемым техническими условиями (например, 0,001; 0,003; 0,03%). Критерий σ_у ограничивает область упругих деформаций, при практических расчетах принимается равным пределу текучести.

Предел текучести σ _m - напряжение, отвечающее нижнему положению площадки текучести в диаграмме растяжения для материалов, имеющих такую площадку. Для материалов, не имеющих на диаграмме площадки текучести, принимают условный предел текучести: напряжение, при котором остаточная деформация образца достигает определенного значения, установленного техническими условиями. Если допуск на остаточную деформацию не оговорен, то подразумевается 0,2%. Значение σ _m устанавливает границу между упругой и упруго-пластической зонами деформирования и является основной характеристикой при оценке прочности пластичных ма­териалов.

Предел прочности (временное сопротивление) σ_в - условное напряжение (определяемое по отношению действующей силы к исходной площади поперечного сечения образца), отвечающее наибольшей нагрузке, предшествующей разрушению образца. Является основной характеристикой материалов, разрушающихся при малых пластических деформациях.

Предел ползучести σ_пл наибольшее напряжение, при котором скорость или деформация ползучести за определенный промежуток времени не превышает значения, установленного техническими условиями. При пользовании термином обязательно указывается условие определения предела ползучести: температура и допуск на скорость или деформацию ползучести за определенный промежуток времени.

Предел длительной прочности σ_дл (или ) - условное напряжение, равное отношению нагрузки, при которой происходит разрушение растянутого образца через определенный промежуток времени, к первоначальной площади поперечного сечении.

Предел выносливости σ _r - наибольшее напряжение цикла, которое материал может выдержать повторно без разрушения Nраз, где N -заданное техническими условиями большое число (например, 10⁶, 10⁷, 10⁸), r - коэффициент не симметрии цикла, равный отношению наименьшего напряжения цикла к наибольшему напряжению, взятому с алгебраическим знаком.

Широкое распространение получили следующие виды испытаний прочностных характеристик льда: сжатие образцов различной формы (кубы, призмы, цилиндры) и объема (характерный линейный размер равен примерно 5-50см), растяжение (в основном образцы гантелевидной формы с поперечным сечением порядка нескольких десятков квадратных сантиметров), изгиб балок и консолей с поперечным сечением в месте разрыва от нескольких квадратных сантиметров и примерно до 1 м² и срез (размеры площади разрушения в атом случае обычно не превышали нескольких десятков или сотен квадратных сантиметров). Ниже приводится попытка систематизировать многочисленные экспериментальные данные по прочностным характеристикам льда. Из-за различия в методиках испытаний установить единый критерий прочности затруднительно.

 Прочность на растяжение и изгиб определяется на образцах в лаборатории, ледяных пластинах, балках и консолях в естественных условиях на плаву. Прочность на растяжение определяется экспериментами двух типов:

ледяные образцы гантелевидной формы растягиваются на испытательной машине до разрушения, либо полые ледяные цилиндры сжимаются по диаметру к центру. Обобщенные по опубликованным работам данные о прочности льда на растяжение при кратковременном приложении нагрузки к образцам примерно одного и того же размера приведены в таблице 8:

 

	Пресноводный лед			Морской лед
0C	0 -10	-10 -20	-20 -35	0 -10	-10 -20
σp, МПа	0,9 1,2	1,2 1,4	1,4 1,8	0,6 1,1	1,4 1,8

 

Расчет на изгиб производится по формулам:  (балка на двух опорах), где Р - разрушающая нагрузка, l - расстояние между  опорами,  b - ширина образца,  h - его высота; (консоль), здесь l- расстояние от места закрепления балки до точки приложения нагрузки.

 Прочность па сжатие и срез (временное сопротивление) для льда рассматриваемая величина является в некоторой степени условной [24], разрушение льда не обусловлено однозначно определенным пределом напряжений. Вследствие ползучести начало разрушения льда и соответствующее этому моменту значение внутренних напряжений существенно зависят от скорости приложения нагрузки, условий деформирования и других факторов. Это является одной из причин больших различий в значениях предела прочности льда, определенных разными исследователями.

Многочисленные экспериментальные значения предела прочности льда при сжатии получены в основном на образцах кубической и реже цилиндрической формы при «быстром» нагружении. Установлено, что σ_сж увеличивается с понижением температуры льда и имеет большие значения при нагрузке, приложенной перпендикулярно к оси кристаллов. Значение σ_сж уменьшается при скорости нагружения σ^’>0,2 МПа/с и при увеличении размеров образцов. Отмечено увеличение σ_сж с ростом σ^’ (при малых ее значениях) и последующее медленное увеличение прочности с возрастанием σ^’.

Лед подчиняется реологической модели в виде параллельно соединенных тел Шведова (Бингама) и Гука. В. В. Лавров объясняет этот факт пластичностью льда. При малых скоростях деформации процессы сдвига успевают закрыть («залечить») наиболее опасные дефекты (трещины в полости) и сделать напряженное состояние в образце более однородным. Это обусловливает увеличение предела прочности. При больших скоростях деформации такого явления не возникает. Предел прочности льда на срез σ_с вычисляется по формуле , где P - разрушающая нагрузка, S - площадь среза.

 

Упругие свойства

Известно, что упругое поведение кристаллов в общем виде описывается следующими соотношениями между тензорами деформации (ε _jk)и напряжения (σ _jk):  

ε _{jk =} S_ikjlσ_ji ; σ _{jk =}C_ikjl ε _ji

где  S_ikjl и C_ikjl - матричные коэффициенты, представляющие собой соответственно константы податливости и жесткости, а i , k , j , l =1,2,3. Для гексогональных кристаллов, подобных льду, имеется только пять независимых модулей упругости, не равных нулю (C₁₁, C₁₂, C₁₃, C₃₃, C₄₄), или соответствующих им коэффициентов S_ikjl. Между ними имеют место следующие соотношения:

; ; ; ;

для

Поликристаллический лед с достаточно малыми размерами входящих в его состав кристаллов (по сравнению с размерами подвергнутых деформациям образцов) можно рассматривать как изотропное тело, упругость которого описывается модулем Юнга Е (модулем нормальной упругости), модулем сдвига G , модулем объемной упругости Ки коэффициентом Пуассона v Модули упругости и сдвига определяются через постоянные Ламе μ и λ которые являются коэффициентами, связывающими механические напряжения в твердом теле с возникающими деформациями. Между указанными характеристиками упругости существует известная аналитическая связь:

; ;

 

;

Различают изотермический и адиабатический модули упругости. При изотермической деформации температура тела не меняется, и модули упругости, соответствующие этому случаю, называются изотермическими. В случае адиабатических деформаций модули с достаточной точностью определяются выражениями:

;

где Т - температура деформируемого тела, α - коэффициент линейного расширения, С_Р - удельная теплоемкость при постоянном давлении. Для льда различие адиабатических и изотермических модулей мало.

Константы упругости пресноводного льда. Упругое поведение монокристалла обусловливается главным образом изменениями межмолекулярных, расстояний под действием приложенного напряжения. Однако, возбужденные напряжением движения дефектов (дислокаций) также вносят свой вклад в деформацию. При движении дефектов к зонам равновесия твердое тело будет непрерывно деформироваться. Эта деформация, будет не вполне упругой. Однако, если напряжение прикладывается и снимается в течение достаточно короткого промежутка времени (например, при прохождении звуковой волны), дефекты не успевают участвовать в до­статочной мере в деформации, которую в этом случае можно считать упругой. По этой причине константы упругости льда, получаемые при высокочастотных акустических измерениях (будем называть их динамическими характеристиками), более надежны, чем те же характеристики, получаемые из экспериментов, в которых измеряется, деформация тела, испытывающего статически приложенную нагрузку.

При температуре от -3 до 40°С лед ведет себя как вполне упругое тело, которое подчиняется закону Гука, если приложенное напряжение все же превышает определенного значения и продолжительность его воздействия достаточно коротка. Это происходит при напряжении сжатия до 0,1 МПа, скорости приложения нагрузки около 0,05 МПа/с и продолжительности воздействия напряжения менее 10 с.

Многочисленные измерения модулей упругости статическими методами (при кратковременном приложении полного цикла нагрузки в течение порядка 5 10 с) показывают, что модули Юнга поликристаллического льда лежат в пределах 0,3*10³ 11,0*10³ МПа. Для столбчато-гранулированного пресноводного льда при действии нагрузки перпендикулярно направлению длинных осей кристаллов выведена зависимость «статического» модуля Юнга (МПа) от температуры в интервале от -3 до -40°С.

E_c=(5,69 – 0,0648T_c)*10³

При этом коэффициент Пуассона уменьшается с понижением температуры примерно от 0,5 при -6°С до 0,38 при -40°С. В то же время для монокристалла в диапазоне от 0 до -40°С модуль Юнга и коэффициент Пуассона не зависят от температуры и равны соответственно 8,34*10³МПа и 0,35. Это объясняется тем, что в деформировании поликристаллического льда существенную роль играет зависимость скольжения по границам зерен от температуры, а также возможное обратимое движение дислокаций.

Динамические константы упругости могут быть определены по измерению скорости звука во льду. Скорость продольной звуковой волны c₁  определяется постоянными Ламе λ, μ и плотностью вещества

Скорость сдвиговой  звуковой волны c₁ определяется одной постоянной Ламе, совпадающей с модулем сдвига, и плотностью вещества:

Коэффициент Пуассона рассчитывается по значениям с_l и с_t по уравнению:

Следовательно, скорости продольных и сдвиговых воли однозначно связаны с константами упругости льда.

В таблице 9 представлены характерные значения динамических констант упругости поликристаллического льда. Динамический модуль Юнга поликристаллического льда увеличивается практически линейно от 7,2*10³МПа при температуре льда -10°С до 8,5*10³МПа при -180°С. По экспериментам с образцами поликристаллического льда, извлеченного из скважины в гренландском леднике, динамический модуль Юнга уменьшается приблизительно на 20% при уменьшении плотности льда с 915 до 903 кг/м.

Были исследованы структурно-моделированного льда и ледяного покрова реки Нева [34]. Все образцы имели различную структуру и ориентировку кристаллов: моделированный лед состоял из кристаллов, средние размеры которых были 1 2мм; кристаллы льда реки Нева были размером от 2 до 8см.

 

Таблица 9. Динамические константы упругости поликристаллического льда при температуре -5°С, определенные импульсным ультразвуковым методом
Модуль Юнга, 102 МПа	Модуль сдвига, 10 МПа	Коэффициент Пуассона	Модуль объемного сжатия, 102 МПа
89,5	-	-	-
91,7	33,6	0,36	113,0
98,0 >	36,8	0,33	96,1
90,0	-	-	-
91,8 93,8	34,5 35,2	0,33	88,1 89,2
99,4	38,0	0,31	87,2
85,0	32,0	0,34	-
86,9	-	-	-
95,0	36,0	0,3	-
88,0 98,0*	-	-	-
80,0 92,0	30,0 32,0	0,35 0,38	-
* - определен резонансным методом.

 

Средний модуль Юнга, определенный резонансным методом (размер образцов 3,5 х 4,0 х 33,0 см) при температуре -6°С, имел следующие значения:

- ледяной покров реки Нева 9,5*10³МПа;

- лед структурно-моделированный:

образец вырезан параллельно поверхности 8,8*10 МПа;

образец вырезан перпендикулярно поверхности 9,8*10³МПа.

Эти исследования показали, что структурно-текстурная анизотропия упругих свойств льда не превышает 10%.

Измерения были выполнены импульсным ультразвуковым методом на частоте 500 кГц [18]. Блоки льда, выпиленные из ледяного покрова Ладожского озера (толщина 0,6 0,8 м), прозвучивались перпендикулярно к поверхности.

Значения Е1 и G1 соответствуют прозрачному, почти без пузырьков воздуха, крупнокристаллическому льду плотностью 900 кг/м³; верхний мутный слой (с воздушными включениями) срезался. Значения Е₂ и G ₂ получены при прозвучивании всей толщи блока вместе с мутным слоем, толщина которого составляла 15 см. Значения Е₃ и G ₃ характеризуют наполовину мутный лед, с большим количеством пузырьков воздуха; плотность этих блоков составляла 890 кг/м.