Кинетические уравнения типа Больцмана
Задание на дипломную роботу
студенту Иванову Ивану Ивановичу пятого курса 1. Тема роботы: «Кинетические уравнения Власова» Утверждена приказом 2. Срок сдачи студентом оконченной работы 3. Содержание пояснительной записки (перечень вопросов, которые подлежат рассмотрению): рассмотреть общие понятия кинетических уравнений, рассмотреть и вывести кинетические уравнения Власова, решить и описать одномерную модельную задачу для уравнения Власова Дата выдачи задания Руководитель работы Пересечанский В.М. Задание к выполнению принял
Согласовано Утверждаю Руководитель дипломной работы Заведующий кафедрой Пересечанский В.М. Певнев В.Я. 2011г. 2011г.
Календарный план дипломной работы Студента Иванова Ивана Ивановича Тема «Кинетические уравнения Власова»
Студент группы: Иванов И.И. 2011 г.
План Перечень условных сокращений и аббревиатур Введение Глава 1 Кинетические уравнения: основные понятия 1.1 Кинетические уравнения типа Больцмана 1.2 Уравнения типа Власова Глава 2 Уравнение Власова-Максвелла, Власова-Эйнштейна и Власова-Пуассона 2.1 Сдвиг плотности вдоль траекторий динамической системы 2.2 Уравнения геодезических и эволюция функции распределения на римановом многообразии 2.3 Как ведет себя мера риманова пространства при преобразованиях 2.4 Вывод уравнения Власова-Максвелла 2.5 Схема вывода уравнения Власова-Эйнштейна 2.6 Система уравнений Власова-Пуассона для плазмы и электронов Глава 3 Одномерная модельная задача для уравнения Власова 3.1 Условия 3.2 Постановка задачи 3.3 Математическая формализация задачи 3.4 Алгоритм разложения решения системы по параметру ε 3.5 Операторы Власова порядка n 3.6 Общая формула для поправки к полю порядка n 3.7 Классическое и релятивистское решения уравнения Власова Заключение Список литературы
Перечень условных сокращений и аббревиатур
ЭМП - Электромагнитное поле Введение
Кинетические уравнения описывают эволюцию функции распределения F(t,v.x) молекул или других объектов (электронов, ионов, звезд, галактик или галактических скоплений) по скоростям v и пространству х в момент времени t. Это означает, что число частиц в элементе фазового объема dvdx есть F (t, v, x) dvdx. Простейшее уравнение — уравнение свободного движения:
(1.1)
Цель данной дипломной работы — рассмотреть и проанализировать основные кинетические уравнения Власова, и на их основании рассмотреть модельную одномерную задачу Коши для уравнения Власова.
Глава 1 Кинетические уравнения: основные понятия Кинетические уравнения типа Больцмана
Первым изученным кинетическим уравнением было уравнение Больцмана. Оно учитывает процессы столкновений добавлением интеграла столкновений в (1.1):
(1.2)
Интеграл столкновений J[F,F] — это квадратичный оператор, учитывающий парные столкновения частиц. Уравнение (1.2) было получено Максвеллом и Больцманом для вывода максвелловского распределения по скоростям, которое тогда только что было использовано для объяснения закона Менделеева – Клапейрона, который будет кратко рассмотрен далее. Максвелловское распределение связано с одним из первых успехов уравнения Больцмана (1.2) — доказательством Н - теоремы. Теорема утверждает, что функционал
для уравнения Больцмана не возрастает: dH/dt <= 0. Этот факт был интерпретирован Больцманом как доказательство возрастания энтропии (Н есть энтропия с обратным знаком), т.е. обоснования 2-го закона термодинамики. Неравенство Н-теоремы верно не всегда. Условие равенства нулю скорости роста энтропии даст максвелловское распределение, поэтому Н-теорема обосновывает не только стационарность максвелловского распределения, но и стремление к нему, устойчивость этого распределения, а также 2-й закон термодинамики. Однако уравнение Больцмана писалось Максвеллом для более широких целей. Программа Максвелла состояла в том, чтобы получить уравнения сплошной среды — типа уравнений Навье-Стокса — из уравнения Больцмана и тем самым получить коэффициенты переноса — вязкости и теплопроводности — и их зависимость от межмолекулярного взаимодействия. Ему это удалось для потенциала межмолекулярного взаимодействия U(r) = r -4 (максвелловские молекулы), когда интеграл столкновений сильно упрощается. Достичь аналогичных результатов для других потенциалов не удалось ни Больцману[1], ни Гильберту. однако это сделали Чэпмсн и Энског[2] с помощью специальной схемы теории возмущений (метод Чэпмсна-Энскога). Ставки здесь были очень высоки; такое решение давало бы (и дало: оно предсказало термодиффузию) количественные предсказания в молекулярно-кинетической теории, которая в то время подвергалась критике (в полемику включились не только ученые, например Мах и Авенариус, но и политики, например В.И. Ленин «Материализм и эмпириокритицизм». Чэпмсн и Энског «немного опоздали»: определение разными независимыми способами числа Авогадро с близкими ответами убедило ученых, и страсти улеглись. В наше время это уравнение со своими следствиями работает в нескольких направлениях. Одно из них — средние слои атмосферы. Высокие слои хорошо описываются уравнением свободного движения (1.1) — газ Кнудсена или свободный газ. Низкие слои — уравнениями газодинамики, которые выводятся из уравнения Больцмана. Сопряжение хотя бы на ЭВМ верхних и низких слоев атмосферы — одна из актуальных задач[3] в связи с летательными аппаратами. Другое направление — химическая кинетика: моделирование смесей. Со всем этим связаны дискретные модели уравнения Больцмана Широко используемым следствием уравнения Больцмана является уравнение переноса, описывающее рассеяние частиц на заданном фоне: это линейное уравнение Больцмана. Такие уравнения используются для описания переноса нейтронов в ядерных реакторах и переноса излучения в атмосфере, когда фотоны рассеиваются средой. Предельным случаем уравнения Больцмана служит уравнение Ландау, когда наибольший вклад вносит сильное рассеянье вперед. Оно используется для описания плазмы. Используются также квантовые аналоги уравнения Больцмана — уравнения Улинга-Уленбека. Для этих уравнений стационарными распределениями вместо максвелловского оказываются распределения Ферми-Дирака или Бозе-Эйнштейна. Таким образом, можно представить иерархию уравнений типа Больцмана в виде следующей схемы:
Схема 1
Линии с вопросительными знаками означают, что соответствующие уравнения еще, может быть, не выведены (например, приближение Ландау для уравнения Улинга-Уленбека).
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (181)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |