Схема вывода уравнения Власова-Эйнштейна

Рассмотрим действие для частицы в гравитационном поле и для поля[9]:

              (5.1)

Здесь R — кривизна; вариация но метрике производится переписыванием первого слагаемого в эйлеровых координатах:

 (5.2)

При этом, как и в предыдущем параграфе, получается уравнение для полей. Варьируя траектории частиц в Sp в (5.1), получаем уравнение для их движения в гравитационном поле. Уравнение для функции распределения (как и в предыдущем параграфе) сеть уравнение сдвига вдоль характеристик.

Вывод. Уравнения Власова-Максвелла и Власова-Эйнштейна получаются единообразным способом варьирования соответствующих лагранжианов электромагнетизма и гравитации.

Система уравнений Власова-Пуассона для плазмы и электронов

Рассмотрим систему уравнений Власова-Максвелла в потенциалах Аu.. Получаем волновую форму релятивистской системы уравнений Власова-Максвелла при условии дuАu = 0 (лоренцова калибровка)[10]:

 (6.1)

Здесь уравнения Максвелла преобразованы по

Если мы перейдем к нерелятивистскому пределу, то va = p/ma. Обычно рассматривают функцию f(t,x,v) распределения по скоростям. Получим систему уравнений Власова-Пуассона:

                  (6.2)

Как правило п = 1 (электронная задача) или п = 2 (плазма, состоящая из ионов и электронов).

Глава 3 Одномерная модельная задача для уравнения Власова

Рассматривается модельная одномерная задача Коши для уравнения Власова. Уравнение описывает эмиссию с бесконечной плоскости монохроматического потока электронов в самосогласованном электрическом поле. Для гладких начальных данных строится явное выражение для значения электрического поля в форме рядов Бюрмана-Лагранжа. После этого задача определения потока электронов сводится к решению линейного уравнения первого порядка по характеристикам, как в релятивистском, так и в классическом случае. Далее производится суммирование построенных рядов и распространение полученных для решения исходной задачи формул и на негладкие начальные данные (получение обобщённых решений).

Условия

Пусть радиационная генерация электромагнитного поля (далее – ЭМП) идёт в широком потоке быстрых электронов, образующемся при рассеянии в среде ионизирующих частиц. В общем случае ЭМП будет самосогласованным, то есть заметно влиять на динамику быстрых электронов, а решение подобных трёхмерных задач в сложных средах требует зачастую недоступного в настоящее время объема ресурсов ЭВМ. В ряде практически важных случаев параметры потоков ионизирующих частиц и среды оказываются такими, что эффект согласования ЭМП и плотности тока быстрых электронов невелик. Его можно попытаться учесть как малое возмущение при определении значений плотности тока и ЭМП. Другие моменты функции распределения быстрых электронов в задачах радиационной генерации ЭМП как правило интереса не представляют. Этот подход к трёхмерным задачам целесообразно исследовать в рамках более простых дву- и даже одномерных постановок при определении необходимого набора функционалов от функции распределения[11].

Условия, в которых происходит ионизирующее рассеяние, образование потоков заряженных частиц и ЭМП, создаются широким набором физических эффектов. Представляется очевидным, что все они приводят к уменьшению ЭМП и фактора самосогласования. Например, столкновения быстрых электронов со средой уменьшает их направленную скорость. В том случае, когда среда имеет исходное распределение электрофизических параметров, заметно отличающееся от вакуумного, ЭМП будет иметь заведомо меньшие значения напряженности электрического поля и магнитной индукции. То есть, адекватность методик, рассматривающих эффект согласования как малое возмущение, целесообразно исследовать в рамках модельных задач, описывающих распространение потоков электронов в вакууме.

Целью практической части работы является получение асимптотического разложения решения задачи о торможении потока электронов собственным электрическим полем в одномерной вакуумной модели и преобразование его к виду, который интерпретируется в терминах рядов Бюрмана-Лагранжа. При этом физически очевидно, что влияние поля на электроны в такой задаче заведомо завышено, что гарантирует применимость выводов о сходимости получающихся разложений к решениям для реальных моделей.

Сформулированная проблема имеет универсальный характер: анализ некоторых задач с реакторной тематикой – управление работой реактора, детальный учет эффекта выгорания и др. – приводит к необходимости рассматривать аналогичную ситуацию. Для описания поведения реактора ищется его нейтронное поле N = N(t, r, v). Такая информация, разумеется, избыточна, но с помощью неё сравнительно просто находить различные функционалы от уже найденного поля, значения которых и представляют практический интерес. В данном случае интерес представляет величина ЭМП – линейного функционала от электронного поля f = f(t, r, v), – которое само входит в систему Власова-Максвелла и, как будет рассмотрено далее, может в некоторых достаточно простых, но имеющих важные следствия, случаях быть найдено, минуя определение функции f(t, r, v), нахождение которой в дальнейшем сводится к решению классических задач с линейными уравнениями первого порядка. В этом состоит определённая специфика системы Власова-Максвелла.

Постановка задачи

Модели ЭМП в задачах его радиационной генерации строятся на основе уравнений Максвелла, содержащих роторы электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что быстрые электроны сами ионизуют среду, порождая вторичные электроны и ионы низкой энергии. Концентрация вторичных заряженных частиц во много раз превышает концентрацию быстрых электронов. По этой причине вторичные электроны в математических моделях рассматриваются отдельно. Источником ЭМП является сторонний ток быстрых электронов и проводимость слабоионизованного газа вторичных заряженных частиц. Соответствие такой модели закону Гаусса обеспечивается уравнением непрерывности для системы всех заряженных частиц.

Рассмотрим эмиссию монохроматического потока электронов со всей плоскости xOy вдоль оси Oz в вакуум. Функция распределения электронов f(t, z, p) удовлетворяет одномерному уравнению Власова, записанному в импульсной, учитывающей релятивистские эффекты, форме:

а входящее в него E – самосогласованное электрическое поле – закону Ампера:

, .

Здесь и далее: с – скорость света; – скорость электрона; m0, re, e, – его масса покоя, классический радиус и заряд соответственно. Плоский поток заряженных частиц порождает одну компоненту плотности электрического тока j(t, z): вдоль оси Oz. В условиях такой симметрии ненулевой является только Εz-компонента ЭМП. Остальные его компоненты равны нулю вследствие уравнений Максвелла и однородных начальных данных: f(0, z, p) = 0, Ε(0, z) = 0.

Функция F(t) описывает интенсивность эмиссии с плоскости, то есть число электронов, вылетающих с единицы площади поверхности в единицу времени. Как и в реальных моделях, для неё выполнено условие F(0) = 0.